Beweis

Hallo,könnt ihr mir bitte helfen?Man muss

Beweisen oder widerlegen:
Alle ungeraden Quadratzahlen sind kongruent 1 modulo 8.

Eine ungerade Quadratzahl ist das Quadrat einer ungeraden Zahl.

Alle ungeraden Zahlen erhält man so:

2*n - 1, wobei n = 1, 2, 3, ...

Also haben alle ungeraden Quadratzahlen die Form

(2*n - 1)²

Ausquadriert ergibt das

4*n² - 4*n + 1

Wenn dieser Ausdruck bei Division durch 8 den Rest 1 lassen soll,

so ist das gleichbedeutend damit, dass 4*n² -4*n teilbar ist durch 8.

Es ist

4*n² - 4*n = 4*n*(n - 1)

Letzteres ist durch 8 teilbar, denn entweder ist n oder n-1 eine gerade Zahl, in der wir den Faktor 2 haben.

Zusammen mit dem Faktor 4 gibt das die Teilbarkeit durch 8.

GRUSS, DK2ZA