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Beweis Ungleichung 1. Sem. Analysis

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Differentiation

Tags: Analysis, Beweis, Kehrwert, Reele Zahlen, Ungleichung

Muetzerich aktiv_icon

23:26 Uhr, 21.10.2010

Hallo!

Ich grüble seit über einer Stunde an dieser Aufgabe rum, aber ich schaffe nicht mehr als Teile der Terme hin- und herzuschubsen.

Beweise:

2 \leq \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \forall x, y \in ℝ, x, y > 0

(LaTeX spinnt (oder ich bin zu doof). Ich will beweisen: 2 =< x/y + y/x für alle reelen Zahlen x,y>0.)

Benutzen darf ich nur einfache Rechenregeln.

Ich hab bisher die Idee gehabt, x/y durch z zu substiturieren, sodass 2 =< x + 1/x, aber wirklich weitergebracht hat mich das auch noch nicht (Ich darf ja nicht einfach das Minimum bestimmen à la Schulmathe.) Mir fehlt eine zündende Idee. Wahrscheinlich muss man da irgendwo eine clevere Erweiterung einführen oder etwas in der Art, aber ich komm nicht drauf. Hat jemand einen Tipp für mich?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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00:06 Uhr, 22.10.2010

2 \leq \frac{x}{y} + \frac{y}{x}

2 \leq \frac{x^{2}}{y x} + \frac{y^{2}}{x y}

2 \leq \frac{x^{2} + y^{2}}{x y}

2 x y \leq x^{2} + y^{2}

0 \leq x^{2} - 2 x y + y^{2}

tip: binomische formel...

dann

tip 2: was gilt fuer quadratische terme?

Muetzerich aktiv_icon

00:25 Uhr, 22.10.2010

Erstmal danke für die Hilfe!

Also, so was in der Art hab ich jetzt auch schon in verschiedenen Variationen auf meinem Schmierzettel stehen. Wenn ich deine Fingerzeige richtig verstehe, bastel ich so weiter:

0 \leq x^{2} - 2 x y + y^{2}

0 \leq (x + y)^{2} \leq x^{2} + y^{2}

Ich habe auch so weiter getüftelt:

- x^{2} \leq y^{2} (*)

- x \leq y

Und das ist wahr, da ja

x, y > 0

sein sollten. Ich bin mir aber nicht sicher, ob ich in

(*)

die Transivität wirklich so benutzen darf. Aber wenn ich es darf ... bin ich jetzt fertig? Ich habe schließlich meine Annahme zu einer Aussage umgebaut, die laut den Bedingungen der Aufgabenstellung wahr ist.

Muetzerich aktiv_icon

00:34 Uhr, 22.10.2010

Vergiss es, vertan. Das ist ja minus 2xy ...

Ich tüftel noch etwas weiter.

Muetzerich aktiv_icon

00:39 Uhr, 22.10.2010

Ich hab's (glaube ich)

0 \leq (x - y)^{2}

Da bin ich fertig.

\forall a \in ℝ : a \geq 0

. Das war's schon, oder? Es war nicht mal wichtig, dass

x, y > 0 .

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00:42 Uhr, 22.10.2010

jo... bist fertig.

aber es ist wichtig dass

x, y

groesser null. dann wuerde zwar das ergebnis dasselbe sein, aber muesstest du die "beweisführung" noch ausführlicher machen. denn dann kann sich bei einigen rechenschritten das ungleichheitzeichen umdrehen. mit

x, y

groesser null bleibt das ungleichheitszeichen so wie es ist und vereinfacht die aufgabe ein wenig.

lg

Muetzerich aktiv_icon

00:43 Uhr, 22.10.2010

Dank dir. :-)

CKims aktiv_icon

00:45 Uhr, 22.10.2010

korrektur...

wenn

x, y

beliebig (also auch kleiner null) kann es sein, dass die ungleichung falsch ist... also nicht fuer alle

x, y

gilt...

807272

807256

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