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Beweis X --> Y, f^-1(f(A)) = A

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Tags: Beweis, Funktion, urbild

Mitmoc aktiv_icon

16:57 Uhr, 27.10.2009

Sei

f : X - \to Y

eine Abbildung zwischen zwei Mengen

X, Y

a)

Zeigen Sie
A Teilmenge von f−1(f(A)) für alle Teilmengen A Teilmenge von X.

Weiß einfach nicht wie ich das machen soll.. das

f - 1

soll natürlich nicht die Umkehrfunktion sein, sondern das Urbild. Mir ist klar das es stimmt, wird ja immer als Eigenschaft definiert etc., aber das zu beweisen, ich weiß nicht wo ich anfangen sollte.

f (A) := {f (x) | x e A}

f - 1 (B) := {x e X | f (x) e B}

Hab irgendwie ne Blockade

\frac{=}{}

Ich hoffe mir kann schnell jemand helfen.

mit freundlichen Grüßen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

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michaL aktiv_icon

17:11 Uhr, 27.10.2009

Hallo,

eigentlich ist der Beweis kaum der Rede wert. Wenn man es versprachlicht, heißt die Behauptung lediglich: Die Menge der Urbilder einer Bildmenge ist nicht kleiner als die Ausgangsmenge. Ist ja auch klar, wenn

a

ein ELement von

A

ist, dann liegt

f (a)

(nennen wir mal

b

) in

f (A)

(nennen wir mal

B

). Dann ist aber

a

f^{- 1} ({b}) \subseteq f^{- 1} (B)

. Das meine ich mit "nicht kleiner", es verschwinden also keine Urbilder. Im Gegenteil, meist kommen sogar welche hinzu. Etwa alle diejenigen Elemente

x

, die NICHT in

A

liegen, aber für die

f (x) = f (a)

gilt. Die Menge der Urbilder wird also im Allgemeinen größer und kann nur in besonderen Fällen gleich groß bleiben. Etwa wenn

f

injektiv ist oder alle ELemente, die auf ein gleiches Bild abgebildet werden, alle in

A

oder eben nicht in

A

sind.

So, das steckt mathematisch (aber ausformuliert) dahinter. Das ist der mathematische Kern, den man sich bei solchen Sachen zu eigen machen muss, um Beweise zu finden. Vielleicht kannst du ja jetzt einen formal gültigen Beweis finden?!

Mfg Michael

Mitmoc aktiv_icon

17:34 Uhr, 27.10.2009

Ok das Verständnis hat sich erstmal erweitert. Wenn die Funktion also beispielsweise

x^{2}

lauten würde, dann und a (Element von

A) = 5

sei wäre

f (a) = 25

und

f - 1 (25) = {5, - 5}

ok... So, könnte man sicherlich durch vollständige Fallunterscheidung machen, was aber aufwändiger wäre als der dafür gedachte Weg.
Mir fehlt hier der Ansatz für den mathematischen Beweis, ich versuch mich jetzt dran würde mich über weitere Hilfestellungen freuen.

michaL aktiv_icon

17:39 Uhr, 27.10.2009

Hallo,

du musst ja nicht so viel beweisen, wie ich jetzt geschrieben hab. Es reicht, wenn du beweist, dass für jedes Element

a \in A

wieder

a \in f^{- 1} (f (A))

gilt.
Das ist für jede "Inklusion" so:

X \subseteq Y \overset{}{\Leftrightarrow} \forall x : x \in X \Rightarrow x \in Y

.

Versuch mal, wir lassen dich nicht allein damit.

Mfg Michael

Mitmoc aktiv_icon

18:21 Uhr, 27.10.2009

ok, ich habs versucht und das ist das Ergebnis :

\forall a \in A \Rightarrow a \in f^{-} 1 (f (A)

Beweis:

f (a) \subset f (A)

b=f(a) (1)
B=f(A) (2)

aus

f (b) \subset B

folgt

f^{-} 1 (b) \subset f - 1 (B)

(1) und (2) wieder einsetzen

f^{-} 1 (f (a) \subset f^{-} 1 (f (A))

\Rightarrow a \subset f^{-} 1 (f (A))

ja, soweit erstmal

michaL aktiv_icon

18:36 Uhr, 27.10.2009

Hallo,

äh, nein, das ist irgendwie unverständlich. Ich zeige dir erst einmal Unstimmigkeiten bei dir auf:

Zuerst schreibst du gleich in der Zeile nach Beweis:
"

f (a) \subset f (A)

"
Das geht nicht.

f (a)

ist ein Element, da müsste etwas wie

f (a) \in f (A)

stehen. Sonst weiß man nicht, was gemeint ist. Genauso "

f (b) \subset B

".

Direkt darunter: "

f^{- 1} (b) \subset f^{- 1} (B)

" (Typo und das "

\subset

" sollen jetzt mal nicht erwähnt werden.) Da wirds wirklich schwierig, weil auf

b

einmal

f

angewandt wird, einmal soll es

f^{- 1} (b)

geben. Das geht nur unter sehr speziellen Voraussetzungen, nämlich, wenn

f

eine Menge in sich selbst abbildet (also Urbild- und auch Bildmenge gleich sind). Das muss nicht so sein, daher solltest du klar trennen, "auf welcher Seite" die Elemente liegen. Gehe von zwei Mengen

X

und

Y

aus, sowie

f : X \to Y

. Dann sind Elemente ENTWEDER in

X

ODER in

Y

. Alles andere wäre Spezialfälle.

Ich hoffe, dir wird klar, wo dein Beweis Verständnisbezogene Probleme aufweist. So ein Beweis soll nämlich Klarheit schaffen, da ist es unumgänglich, klare Beweisstrukturen zu haben. Und darum geht es in den ersten Wochen im Mathestudium: Um das Formalisieren einfacher Beweise.

Versuch es noch einmal und (zusätzlicher Tipp) verwende häufiger die Elementrelation "

\in

".

Mfg Michael

Mitmoc aktiv_icon

19:10 Uhr, 27.10.2009

ok du hast recht, da steht totaler Müll :-D)
Ich versuchs noch einmal wie oben und nochmal einbisschen anders:

\forall a \in A \Rightarrow a \in f^{-} 1 (f (A))

Beweis:
f(a)=b
f(A)=B

f (a) \in f (A)

\Leftrightarrow b \in B

\Rightarrow f^{-} 1 (b) \in f^{-} 1 (B)

\Rightarrow f^{-} 1 (f (a)) \in f^{-} 1 (f (A))

\Leftrightarrow a \in f^{-} 1 (f (A))

2. Versuch:

f (A) \supseteq B

f^{-} 1 (f (A)) \supseteq f^{-} 1 (B)

(per Definition

f^{-} 1 (B) = A

( de.wikipedia.org/wiki/Urbild_(Mathematik) )

f^{-} 1 (f (A)) \supseteq A □

Ach man, wenn ich aufm Schlauch stehe, dann richtig :X,
Studiere Physik und bin mit Beweisen nicht sonderlich vertraut .
Aber danke für deine Hilfe !:>

michaL aktiv_icon

23:35 Uhr, 27.10.2009

Hallo,

ich geb mal einen an, denn wenigstens

A = f^{- 1} (B)

erscheint mir sehr fragwürdig.

Zu zeigen:

A \subseteq f^{- 1} (f (A))

:
Sei

a \in A

b := f (a) \in f (A)

.
Es gilt

f^{- 1} (f (A)) = {x \in X ∣ f (x) \in f (A)}

, und da

b = f (a) \in f (A)

gilt, ist demnach sicher

a \in f^{- 1} (f (A))

.

Und das war zu zeigen.

Mfg Michael

PhyPrimaner aktiv_icon

22:00 Uhr, 21.10.2023

Hey, dieser Thread ist ja jetzt schon über

10

Jahre alt aber ich hätte noch eine Frage.
Ich verstehe noch nicht so ganz warum aus

b = f (a) \in f (A)

folgt

: a

in f^−1(f(A)).
Soweit ich das vorherige verstehe gibt es ein Element

x \in X

was die Bedingungen was der Definition von

b

entspricht also ist

b \in X

aber warum heißt das jetzt das

a

in f^−1(f(A)) ?

Ich verstehe schon die Gesamtaussage und auch warum das richtig ist nur der Art wie der Beweis gemacht wird kann ich nicht nicht folgen.

Wenn es offensichtliche Dinge gibt die ich nicht kenne um das zu verstehen gerne einfach sagen.
Ich arbeite dem aktuellem Stoff etwas vor raus und es kann deswegen sein das mit etwas ganz Elementares noch nicht klar ist.

Falls das hier noch jemand liest und helfen kann schon einmal vielen Dank!

Mfg
PhyPrimaner

michaL aktiv_icon

22:26 Uhr, 21.10.2023

Hallo,

ja, ein uralter Faden. Daran sieht man, dass es immer um die gleichen Sachen geht.
> Wenn es offensichtliche Dinge gibt die ich nicht kenne um das zu verstehen gerne einfach sagen.

Nun, am Anfang muss man eben einfach begreifen, was es in Bezug auf die Abbildung

f : X \to Y

mit

f (A)

für

A \subseteq X

bzw.

f^{- 1} (B)

für

B \subseteq Y

auf sich hat.

Das ist sicher in der Vorlesung definiert worden, etwa so:

f (A) = {f (a) ∣ a \in A}

In Worten:

f (A)

ist die Menge aller Bilder von Elementen aus

A

.

Dagegen:

f^{- 1} (B) = {x \in X ∣ f (x) \in B}

In Worten:

f^{- 1} (B)

ist die Menge aller Elemente, die auf ein Element in

B

abgebildet werden.

So, nun geht es um folgende Teilmengenbeziehung:

A \subseteq f^{- 1} (f (A))

In Worten: Betrachte ich die Urbilder der Menge der Bilder einer Menge

A

, so umfasst diese die Ausgangsmenge. (Und nun rate, warum Mathematiker die mathematische Sprache erfunden haben!)

Eine Teilmengenbeziehung

M \subseteq N

beweist man allgemein, indem man für JEDES

m \in M

nachweist, dass auch

m \in N

gilt.

Dieses

m \in N

weiß ich nur, wenn ich nachweise, dass dieses

m

die alle Elemente von

N

definierende Eigenschaft (auch) hat.

Hier also:

a

soll (auch) ein Element von

f^{- 1} (f (A))

sein.
Welche Eigenschaft muss so ein

a

also haben?

Nun, es soll ein Element einer Menge

f^{- 1} (B))

(nein, der Wechsel von

f (A)

auf

B

ist KEIN Fehler) sein, d.h. nach Definition, dass es per

f

auf ein Element der Menge

B

abgebildet werden soll.
Nun ist

B

aber nicht irgendeine Menge, es gilt vielmehr

B = f (A)

(weil ich das gerne nacheinander betrachten wollte).
Es muss also

f (a)

ein Element von

f (A)

sein.
Nun, wenn

a \in A

gilt, ist das sicher immer gegeben.

Deine Aussage/Frage
> Soweit ich das vorherige verstehe gibt es ein Element x∈X was die Bedingungen was der Definition von b entspricht also ist
> b∈X
finde ich unverständlich.

Auf
> warum aus b=f(a)∈f(A) folgt :a in f^−1(f(A)).
glaube ich geantwortet zu haben.

Noch etwas:
> Ich verstehe schon die Gesamtaussage und auch warum das richtig ist nur der Art wie der Beweis gemacht wird kann ich nicht
> nicht folgen.

Das scheint mir sich logisch auszuschließen.
Erst wenn man einen Beweis zu einer mathematischen Aussage komplett verstanden hat, hat man den Sachverhalt verstanden.
Das andere ist nur das Fehlen eines Einwandes. Gib dich damit nicht zufrieden. Spätestens jetzt im Studium muss Schluss sein mit "Dagegen hat mein Verstand keinen Einwand."
Das ist zu wenig.

Mfg Michael

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