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Beweis abelsche Gruppe, Grundlagen

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: abelsche Gruppe, Angewandte Lineare Algebra, Beweis

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23:52 Uhr, 23.10.2009

Hallo,

ich habe folgendes Problem. Hatte diese Woche meine erste Vorlesung in Lineare Algebra und haben mal eben Gruppen, Körper ,Ringe und was so dazugehört durchgemacht. Konnte grad so mitschreiben, habe aber nicht viel verstanden. Übungsaufgaben gabs natürlich auch schon und zwar...

"Für

a, b

∈

ℝ

definiere und a ⊕

b := a + b + a b

."

(Keine Tippfehler meinerseits^^)

Zeigen Sie:

(a)

(ℝ {- 1},

⊕ ) ist eine abelsche Gruppe
(b)

. .

.

Mein Problem ist... ich weiss nicht wie ich überhaupt anfangen soll.
Ich muss beweisen dass die Gruppe abelsch ist,

d . h

. dass bestimmte Gesetze gelten müssen.

G 1

(Assoziativgesetz)

G 2

(Bestehen eines neutralen sowie inversen Elements)

G 3

(Kommutativgesetz)

Wie gehe ich da ran? Wie fange ich an? Wie beweise ich dass diese Gesetze gelten?
Womit "rechne" ich?

a + b + a b

oder a ⊕ b? beides? Hilfe!^^

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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00:21 Uhr, 24.10.2009

G1 musst du das Assoziativgesetz zeigen ..dann musst du 3 Elmente aus R nehmen sagen wir mal a ,b uns c und zeige mal das (a*b)*c=a*(b*c)

(a*b)*c=(a+b+ab)*c=a+b+ab+c+(a+b+ab)c etc etc versuche es mal alleine

G2 das neutrale Element hat folgende Eingenschaft a*e=e*a=a nun a*e=a+e+ae=a (man sieht schon was e sein muss um zurück auf a zukommen) ...oder?

Inverses machen wir wenn du das neutrale gefunden hast ...

und G3 ist wie bei G1 sogar einfacher

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00:47 Uhr, 24.10.2009

Vielen Dank für die schnelle Antwort zu so später Stund, aber... ich bin da etwas verwirrt^^

Die letzte Umformulierung ist mir nicht ganz klar. Wie kommt man von

(a+b+ab)*c auf a+b+ab+c+(a+b+ab)*c?

Wird etwas hinzugefügt?

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00:50 Uhr, 24.10.2009

ja nun muss man (a+b+ab)*c berechnen ich nenne (a+b+ab)=z dann z*c=z+c+zc ....leuchtet es dir ein ?

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01:01 Uhr, 24.10.2009

Leider nicht ganz.

(a*b)*c=(a+b+ab)*c

verstehe ich, allerdings nicht

(a+b+ab)*c=a+b+ab+c+(a+b+ab)*c

Man fügt etwas hinzu und die Gleichung stimmt dennoch?
Diese Beweise sind mir noch völlig fremd

> <

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01:04 Uhr, 24.10.2009

wir dürfen nicht vergessen das a+b+ab auch eine Zahl aus R wie gesagt ich nenne die Zahl z

also sei a+b+ab=z und z*c=z+c+zc =a+b+ab+c+(a+b+ab)c

***Edit ich habe nichts hinzugefügt ich habe nur seine gegebene Verknüpfung angewandet

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01:11 Uhr, 24.10.2009

Ah ok, verstehe^^

Und nun muss ich von

a+b+ab+c+(a+b+ab)c

auf

a \cdot (b \cdot c)

kommen und hätte damit dann

G 1

bewiesen?

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01:12 Uhr, 24.10.2009

Genau ! oder du zeigst das was rechts steht genau das gleiche ist was du für (a*b)*c gerechnet hast

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01:19 Uhr, 24.10.2009

Ok, vielen Dank

Ich werde dann mal rumrechnen und versuchen den ersten Teil zu lösen.
Werde mich wohl erst morgen, bzw später melden.

Achja und das neutrale Element ist wohl

0,

das Inversum ebenfalls

0 . .

. muss es dann nur noch beweisen^^

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01:20 Uhr, 24.10.2009

das neutrale ist die Null ..lol inverse kann nicht die null sein :-)

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01:26 Uhr, 24.10.2009

Hmm... verdammt^^

Dann kümmern wir uns später um das Inversum :-P)

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01:27 Uhr, 24.10.2009

das schaffst du auch alleine da bin ich mir sicher ;-)

LG arrow

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15:32 Uhr, 24.10.2009

Habe nun etwas rumgerechnet und zumindest anscheinend eine Lösung^^

Und zwar...

Sei

a + b + a b = z

z

c = z + c + z c = a + b + a b + c + (a + b + a b) c = a + b + a b + c + a c + b c + a b c

Das gleiche dann für die andere Seite

a °

(b

c) = a

(b + c + c b)

Sei

b + c + c b = y

(Kann man das so machen?^^)

a °

y = a + y + a y = a + b + c + b c + a (b + c + b c) = a + b + c + b c + a b + a c + a b c

Ordnet man das etwas erkennt man das auf bei beiden das gleiche herauskommt.
Wenn das so stimmt, was ich doch sehr hoffe^^... wie schreibt man das "richtig" hin?

adriano-moraes aktiv_icon

18:39 Uhr, 24.10.2009

Was wolltest du denn damit beweisen,

(G 1)

(das Assoziativgesetz) ?
Dann ist das richtig

\land

Ich würde das aber noch geordnet aufschreiben wenn du das als Übungsaufgabe abgeben willst, und vo allem solltest du mit folgender Annahme deinen Beweis beginnen:

Sei a+b+ab=z
Sei b+c+cb=y

z

c = a

y

und dann halt die genauen Vernküpfungen aufschreiben, sodass am Ende steht:

a+b+c+ab+ac+bc+abc=a+b+c+ab+ac+bc+abc

Beim Inversen Element kann ich dir leider nicht weiterhelfen, dass hab ich selbst noch nicht raus

: (

arrow30

18:47 Uhr, 24.10.2009

$I n v : a \oplus a^{- 1} = e = 0 = a + a^{- 1} + a a^{- 1} = 0 \to a^{- 1} (1 + a) = - a \to a^{- 1} = \frac{- a}{1 + a}$

also zu jedem a aus R/{-1} gibt es ein inverses wie oben gezeit

PS: daher hat er die -1 ausgeschlossen sonst gäbe es eine Null im Nenner

rezz- aktiv_icon

18:53 Uhr, 24.10.2009

Ganz genau,

G 1

Freut mich zu hören^^

Muss in der Tat diese Übungsaufgaben abgeben... und das war nur

G 1 . .

. von

a) . .

. von

1.2 > <

Vielen Dank für die Antwort.

Noch ne ganz andere Frage. Vorerst sind alle Fragen geklärt, muss allerdings auch noch

G 2

und

G 3

beweisen. Hoffe die zwar allein lösen zu können, aber falls nicht... sollte ich diesen thread jetzt schließen oder für eventuelle Fragen noch offen halten?

rezz- aktiv_icon

23:18 Uhr, 24.10.2009

Meine letzte Frage erübrigt sich.^^

Frage zum neutralen Element.

Muss ich bei

a \cdot e = a + e + a e = a

noch irgendetwas zusätzlich beweisen oder kann ich einfach sagen, dass für die Addition gilt

e = 0,

oder soll ich es gar einsetzen und dann zeigen dass dort

a = a

rauskommt?

Wahrscheinlich ist der Beweis etwas komplexer :-P)

michaL aktiv_icon

23:41 Uhr, 24.10.2009

Hallo Ralf,

wegen des Neutralen: je nachdem, wie ihr das definiert habt, musst du ae=a und ea=a für alle a zeigen. Außerdem musst du zeigen, dass dieses e eindeutig ist, sofern ihr dafür nicht einen Satz zur Abkürzung habt.

Mfg Michael

rezz- aktiv_icon

01:24 Uhr, 25.10.2009

Hmm, leider hilft mir das kaum weiter. Ich hab bislang noch nie solch ein Beweis gemacht noch gesehen, daher habe ich einige Schwierigkeiten^^

Allerdings hab ich einen Beweis im Internet gefunden für a °

e = a,

dies muss ich dann nur noch auf a+b+ab umsetzen, nehm ich an.

Eine andere Frage...laut a ⊕

a^{- 1} = e = 0 ...

a^{- 1} = - \frac{a}{1 + a}

Demnach ist

a + a^{- 1} = 0 \to a + - \frac{a}{1 + a} = 0

Dem ist aber nicht so, ausser bei

a = 0

. Übersehe ich etwas?

michaL aktiv_icon

09:53 Uhr, 25.10.2009

Hallo Ralf,

du "weißt" doch schon, dass 0 das neutrale Element ist. Um das für andere sichtbar zu machen, musst du nur zeigen, dass

a \oplus 0 = a

für alle Elemente

a

gilt. Dass auch

0 \oplus a = a

gilt, brauchst du nicht mehr zu beweisen, wenn du gezeigt hast, dass "

\oplus

" kommutativ ist (musst du nach Aufgabenstellung sowieso beweisen).

Dann musst du noch beweisen, dass für jedes "andere" Element

f

, das für alle

a

neutral ist, schon

f = 0

gilt. Evtl. habt ihr da auch einen passenden Satz der Vorlesung, denn in kommutativen Halbgruppen gibt es höchstens (!) ein neutrales Element. Beweis ist denkbar einfach: Gelten für alle

a

a e = e a = a

und

a f = f a = a

, so gilt insbesondere für

a = f

f = f e = e f = e

.

Mfg Michael

Astor aktiv_icon

10:29 Uhr, 25.10.2009

Hallo,
ich misch ja nicht sehr gerne ein.
Aber ich vermisse den Beweis der Abgschlossenheit.

Wenn a und b reelle Zahlen außer der "-1" sind, so muss gezeigt werden, dass auch die "Summe" aus a und b ungleich -1 ist.

Also: Wäre: a+b+ab=-1,
so gilt: a+b(1+a)=-1=>b(1+a)=-1-a=>

b = \frac{- (1 + a)}{1 + a} = - 1

Das heißt: wäre die "Summe"=-1, so wäre ein Summand schon gleich -1. Das ist ein Widerspruch zur Voraussetzung.

Damit ist die Verknüpfung abgeschlossen.

Assotiativgesetz:

"(a°b)°c=a°(b°c)" zu zeigen.
"

(a ° b) ° c = (a + b + a b) ° c = [a + b + a b] + c + [a + b + a b] c = a + b + a b + c + a c + b c + a b c

a ° (b ° c) = a ° (b + c + b c) = a + [b + c + b c] + a (b + c + b c) = a + b + c + b c + a b + a c + a b c

erfüllt

Kommutativgesetz
klar.
Neutrales
ist gezeigt.
Inverses
ist auchg gezeigt.

Gruß Astor

arrow30

13:44 Uhr, 25.10.2009

@ Rezz $a + a^{- 1} = a - \frac{a}{1 + a}$ ja das stimmt wenn deine Verknüpfung + wäre ...ist die aber nicht !

also noch mal: $a \oplus a^{- 1} = a + \frac{- a}{1 + a} + a * \frac{- a}{1 + a} = a - \frac{a}{1 + a} (1 + a) = a - a = 0$

sabrinchen aktiv_icon

16:13 Uhr, 25.10.2009

Hi,
Astor hat in diesem Beitrag einen Beweis geliefert wie man beweisen kann das es für die -1 kein Inverses Element gibt, richtg?
. Nur leider kann ich diesen nicht nachvollziehen.

Okay, man muss beweisen das es für -1 kein inverses Element gibt: a+b+ab=-1

a + b (1 + a) = - 1 = > b (1 + a) = - 1 - a = > b = \frac{- (1 + a)}{1 + a} = - 1

aber wie kommt man dann auf

a + b (1 + a) = - 1

rezz- aktiv_icon

17:56 Uhr, 26.10.2009

@ sabrinchen

Wenn ich deine Frage richtig verstehe...

a + b (1 + a)

ist nur

a + b + a b,

wobei das

b

ausgeklammert wird.

@ Thread

Vielen Dank für eure Hilfe^^. Ohne eure Unterstützung wäre ich nicht wirklich weit gekommen.
An diese Beweise muss ich mich noch gewöhnen.

MfG

rezz

rezz- aktiv_icon

17:57 Uhr, 26.10.2009

@ sabrinchen

Wenn ich deine Frage richtig verstehe...

a + b (1 + a)

ist nur

a + b + a b,

wobei das

b

ausgeklammert wird.

@ Thread

Vielen Dank für eure Hilfe^^. Ohne eure Unterstützung wäre ich nicht wirklich weit gekommen.
An diese Beweise muss ich mich noch gewöhnen.

MfG

rezz

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