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Beweis aus der Mengenlehre, de Morgan

Schüler Gymnasium,

Tags: Beweis, Mengenlehre, morgan

Jana203 aktiv_icon

20:33 Uhr, 16.10.2013

Hallo Leute,

ich hoffe ihr könnt mir helfen. Verzweifle seit gestern daran folgendes zu beweisen:

Das Komplement von

A \cap B =

Dem Komplement von

A \cup

dem Komplement von B.

(Das Komplement machen wir mit einem Strich über den Buchstaben, konnte ich aber leider nicht finden.)

Ich glaube das ist das erste De Morgansche Gesetz. Nun muss ich das beweisen, aber NICHT mit einem Venn-Diagramm oder einer Wahrheitstafel. Ich muss einen formalen Beweis durchführen.

Mein Ansatz sieht so aus:

x

in Komplement von

A \cap B

\Leftrightarrow x

/notin

(A \cap B)

Soweit logisch, aber habe ja auch fast nichts erreicht. Ich würde gerne erreichen, dass da am Ende steht:

\Leftrightarrow

dem Komplement von

A \cup

dem Komplement von B.

Bitte um Hilfe, ich verzweifel schon an dem Studium...

LG Jana

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Mengenlehre

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Rentnerin

21:23 Uhr, 16.10.2013

Hallo, vielleicht die Gleichheit durch zwei Inklusionen zeigen!

==>

Sei also

x \in \bar{A \cap B}

, dann ist entweder

a)

x \in \bar{A}

und damit auch

x \in \bar{A} \cup \bar{B}

oder

b)

x \in A

und damit

x \notin B

(sonst wäre ja

x \in A \cap B

im Widerspruch zur Annahme) also auf jeden Fall

x \in \bar{B} \cup \bar{A}

.

Das wäre die eine Inklusion.

Gruß
Rentnerin

Jana203 aktiv_icon

21:32 Uhr, 16.10.2013

Hallo,

danke für deine Antwort!

Ich hätte vielleicht dabei schreiben sollen, dass

A, B \subseteq M

sind.

Inklusionen sind doch Teilmengen oder? Weiß aber leider trotzdem überhaupt nicht weiter...

LG

Rentnerin

21:40 Uhr, 16.10.2013

Der Duden (ist zwar auch nicht mehr, was er einmal war) schreibt:

"Die Beziehung des Enthaltenseins"

vgl. www.duden.de/rechtschreibung/Inklusion

Beachte: Gleichheit von Mengen läßt sich häufig dadurch nachweisen, dass jede der beiden Mengen Teilmenge der anderen ist. Dies kann über die Elemente der Mengen nachgewiesen werden.

Gruß
Rentnerin

Jana203 aktiv_icon

22:14 Uhr, 16.10.2013

Ich verstehe ehrlich gesagt nicht, wie man von

x \in,

Komplement A zu

x \in,

Komplement

A \cup

Komplement

B

kommt.

Am Anfang steht dort noch

\cap,

doch dann plötzlich

\cup

. Wie kommt das zu stande?

LG Jana

Respon

22:31 Uhr, 16.10.2013

Das gab' schon.
http//www.onlinemathe.de/forum/Beweis-de-Morgansche-Gesetze-der-Mengenlehre

Jana203 aktiv_icon

22:41 Uhr, 16.10.2013

Okay danke, dann nur noch eine letzte Frage:

Warum gehört

x \in,

ab dem 2. Schritt mit zum Komplement?

Respon

22:44 Uhr, 16.10.2013

Auf welchen "2. Schritt" beziehst du dich?

Jana203 aktiv_icon

22:51 Uhr, 16.10.2013

Ich beziehe mich auf 2. Schritt, der bei dem Link auftaucht, auf den du verwiesen hast.

Ich meine also

x \in,

Komplement

(A \cap B)

\Leftrightarrow

Komplement

x \in (A \cap B)

DIESEN HIER. Ist eigentlich der Erste.

...

.

Da umfasst das Komplemet das

x \in,

mit.

Respon

22:59 Uhr, 16.10.2013

Aussagenlogik: Es gilt ¬

(A \land B) =

A \lor

B

x \in \bar{A \cap B} \Rightarrow

(x \in (A \cap B)) \Rightarrow

(x \in A \land x \in B) \Rightarrow

x \in A \lor

x \in B \Rightarrow x \in \bar{A} \lor x \in \bar{B} \Rightarrow x \in (\bar{A} \cup \bar{B})

Jana203 aktiv_icon

23:04 Uhr, 16.10.2013

Und welchen Unterschied macht das, wenn das

x \in,

zum Komplement dazugehört?

Sorry, dass ich so langsam bin und so viele Fragen hab, aber es ist echt wichtig, dass ich das versteh.

Respon

23:07 Uhr, 16.10.2013

"Und welchen Unterschied macht das, wenn das

x \in,

zum Komplement dazugehört?"

Diese Frage ergibt für mich keinen Sinn....."

x \in,

zum Komplement"

Jana203 aktiv_icon

23:12 Uhr, 16.10.2013

Oh, sorry. Ich meine Folgendes:

Gibt es einen Unterschied zwischen
x∈, Komplement (A∩B)

\to

Das Komplement schließt

A \cap B

ein, jedoch nicht das

x \in,

und

Komplement x∈(A∩B)

\to

Das Komplemenr schließt alles ein. Also der Strich dadrüber geht vom

x

bis zur letzten Klammer.

Respon

23:14 Uhr, 16.10.2013

Bitte verwende eine lesbare Schreibweise

http//www.onlinemathe.de/download/onlinemathe_mathematische_zeichen.pdf

Jana203 aktiv_icon

23:37 Uhr, 16.10.2013

Hoffe man kann erkennen was auf dem Foto ist, musste das stark verkleinern.

Leider bekomme ich das nämlich mit den Zeichen nicht so hin, wie ich das möchte.

Jana203 aktiv_icon

23:37 Uhr, 16.10.2013

Edit.

Doppelpost.

Respon

23:42 Uhr, 16.10.2013

Du bringst hier Mengenoperationen und aussagelogische Operationen durcheinander.

x \in \bar{A \cap B}

bedeutet:

x

ist Element des Komplements der Durchschnittsmenge von A und

B

\bar{x \in (A \cap B)}

ergibt keinen Sinn, da es zu einer AUSSAGE ja kein Komplement gibt ( weil eine Aussage ja keine Menge ist )

Respon

23:47 Uhr, 16.10.2013

Deine Aufgabe lautet:
Zeige

\bar{A \cap B} = \bar{A} \cup \bar{B}

Die Gleichheit dieser beiden Mengen zeigt man, indem man zeigt

\bar{A \cap B} \subseteq \bar{A} \cup \bar{B}

\land

\bar{A} \cup \bar{B} \subseteq \bar{A \cap B}

Der erste Beweis steht oben, die umgekehrte Richtung ist analog.

Jana203 aktiv_icon

23:51 Uhr, 16.10.2013

Ich glaube ich habe das falsch verstanden. das bedeutet " ¬ " nicht und ich habs die ganze Zeit als Komplement gelesen!

Danke, ich hab einfach das Zeichen nicht richtig gelesen! Danke für deine Mühe und Geduld.

Respon

23:53 Uhr, 16.10.2013

¬ bedeutet die Negation der nachfolgenden Aussage.
Ist damit alles klar?

Jana203 aktiv_icon

23:54 Uhr, 16.10.2013

Alles klar, danke!

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