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Beweis, dass Halbgruppe Gruppe ist?
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Tags: Axiom, Beweis, Gruppen, Halbgruppen, Semigruppen
 
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Hallo zusammen. Ich sitze zur Zeit an meinem Übungsblatt in Lineare Algebra und bin schon wieder am Verzweifeln. Die Aufgabe, an der ich mir gerade das Hirn zerbreche, ist folgende: "Eine Semigruppe ist eine nicht-leere Menge mit einer assoziativen Verknüpfung auf G. Sei eine Semigruppe. Beweisen Sie, dass genau dann eine Gruppe ist, wenn die folgenden zwei Kriterien erfüllt: Es gibt ein ∈ sodass ea für alle . (ii) Für jedes a ∈ existiert ein a^−1 ∈ das a^−1a erfüllt" Ich hätte das Ganze nun einfach damit bewiesen, dass die gegebenen Bedingungen sozusagen die Axiome erfüllen, mit denen eine Gruppe definiert ist. Was mich jedoch stutzig macht, ist, dass diese Aufgabe 5 Punkte und damit der Gesamtpunktzahl gibt? Ich verstehe nicht, was ich noch dazu sagen soll, und hätte damit schon längst abgeschlossen, wenn es nur nicht so viele Punkte für diese Aufgabe gäbe. Es ist aber natürlich sehr gut möglich, dass ich irgendwas übersehen habe, da ich noch sehr neu an der Uni und noch etwas mit allem überfordert bin... Fällt euch vielleicht noch etwas ein, was ich zu diesem Beweis dazuschreiben soll? Ich danke euch schonmal im Voraus. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: |
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Hallo, > Ich hätte das Ganze nun einfach damit bewiesen, dass die gegebenen Bedingungen sozusagen die Axiome > erfüllen, mit denen eine Gruppe definiert ist. Liest sich gut. Genau so würde ich es auch machen. > Was mich jedoch stutzig macht, ist, dass diese Aufgabe 5 Punkte und damit 10% der Gesamtpunktzahl gibt? > Ich verstehe nicht, was ich noch dazu sagen soll, und hätte damit schon längst abgeschlossen, wenn es nur > nicht so viele Punkte für diese Aufgabe gäbe. Ah, ich ahne, woher der Wind weht. Nun, dann steigen wir doch ein. Liste doch mal die Gruppenaxiome auf und erkläre, wie du sie hieraus beweisen würdest. Vielleicht finden wir ja das Problem. Mfg Michael |
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Erst einmal vielen Dank für deine Antwort! Wir haben die Axiome wiefolgt notiert: (Assoziativgesetz) ∀a,b,c∈G: (a∘b)∘c=a∘(b∘c) (Existenz eines neutralen Elements) ∃e∈G: a∘e=a ∀a∈G (Existenz von Inversen) ∀a∈G ∃ ∈G: a∘ (Ich habe im Internet noch ein weiteres Axiom, das Axiom der Abgeschlossenheit) gefunden, allerdings haben wir das in unserer Vorlesung nicht notiert.) Das Assoziativgesetz ist ja bereits durch die Bedingung in der Aufgabenstellung, sei eine nicht-leere Menge mit einer assoziativen Verknüpfung, gegeben. Aber bei den anderen Axiomen bin ich mir jetzt ehrlich nicht sicher, wie ich vorgehen soll... Liegt das Problem vielleicht darin, dass in den Axiomen beispielsweise "a∘e=a", in der Aufgabe aber "e∘a=a" steht? Tut mir leid, ich weiß wirklich nicht, was da von mir verlangt wird... |
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Hallo, > Liegt das Problem vielleicht darin, dass in den Axiomen beispielsweise "a∘e=a", in der Aufgabe aber "e∘a=a" > steht? Genau darin. Ich vermute, ihr habt beim neutralen Element einer Gruppe für alle verlangt. Und zudem habt ihr beim Inversen vermutlich auch beides verlangt, d.h. . Nun hast du das ganze aber nur für eine Seite gegeben und musst zeigen, dass die anderen beiden Gleichungen ebenfalls gelten. Oder ihr habt die eine Seite verlangt und sollt nun zeigen, dass dann auch die andere Seite zu einer Gruppe führt. Ich habe als Student mit der gleichen Aufgabe gekämpft. Jetzt kommt es darauf an, wie die Gruppe bei dir genau definiert ist. Zudem braucht es auch die exakte Aufgabenstellung. Ich bin sowieso ein Freund davon, wenn die Aufgabenstellung als Scan mit angegeben werden, um Missverständnisse zu vermeiden. Steht etwa in der Definition der Gruppe irgendwo das Wort "eindeutig"? (Es gibt ein eindeutiges ...) Mfg Michael PS: Vielleicht schaust du dir mal de.wikipedia.org/wiki/Gruppe_(Mathematik)#Schwache_Gruppenaxiome an, dort steht vermutlich das, was du als Beweis brauchst. Allerdings: Schwierig ist das auch nicht, man muss nur eine Idee entwickeln. Und so viele gibt es hier eigentlich nicht. Entweder versuchst du zu beweisen, dass aus auch folgt (oder umgekehrt, je anchdem, was die Aufgabe verlangt). Oder versuchst es mit den Inversen. Eins von beiden muss man probieren und ich kann mich erinnern, dass ich es eben auch nur mit den Inversen geschafft hatte, was mich damals überraschte. |
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Ich bin mal so frei und beantworte hier die Rückfrage von dir, Michael, weiter, denn bei ich sitze derzeit am selben Übungsblatt ;-) "Ich vermute, ihr habt beim neutralen Element einer Gruppe e∘a=a∘e=a für alle a∈G verlangt. Und zudem habt ihr beim Inversen vermutlich auch beides verlangt, . a^−1∘a=a∘a^−1=e" Nein, wir haben nur das verlangt: (Assoziativgesetz) ∀a,b,c∈G: (a∘b)∘c=a∘(b∘c) (Existenz eines neutralen Elements) ∃e∈G: a∘e=a ∀a∈G (Existenz von Inversen) ∀a∈G ∃ a^−1 ∈G: a∘a^−1=e Dass dann gleichzeitig auch die "andere Richtung" (also . e∘a=a) gelten muss, haben wir allerdings auch schon in einem Satz bewiesen. Das ist doch aber quasi das, was man in dieser Aufgabe machen soll, oder etwa nicht? Deshalb verstehe ich auch nicht ganz, was man hier jetzt überhaupt genau machen soll? |
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Hallo, ok, ich fasse zusammen: Ein Gruppe ist definitionsgemäß ein Menge mit assoziativer Verknüpfung "", für die gilt: * (Rechtsneutralität) * (Rechtsinverses) Zudem schreibt ihr für das Rechtsinverse zu gerne , gell? Und ihr habt einen Satz wie den folgenden bewiesen: Satz: Sei eine Gruppe und das rechtsneutrale Element, dann gelten für alle : (i) (ii) Dann habt ihr den ersten Teil der Aufgabe tatsächlich erledigt. Allerdings braucht ihr noch die rückwärtige Richtung. Sprich: Ist eine Menge mit assoziativer Verknüpfung "", für die (i) (ii) gelten, so ist eine Gruppe. Die Arbeit ist aber wenig mathematisch, da man ja nur den Beweis des oben erwähnten Satzes anzugeben braucht und dabei die Schritte durch ihre Analoga ersetzen muss. Beispiel: Wenn ihr bewiesen habt, dann müsst ihr jetzt eben mit den analogen Schritten . Ich könnte mir aber vorstellen, dass der Satz, auf den du ansprichst, gar nicht bewiesen wurde und eure Aufgabe jetzt eben darin besteht, den Beweis zu liefern. Wissen kann ich das aber nicht. Mfg Michael |
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Hallo, vielen Dank für die Antwort. Doch, der Satz wurde tatsächlich in der Vorlesung bewiesen. Das mit der rückwärtigen Richtung habe ich inzwischen auch erledigt genau so wie von dir beschrieben. Dennoch nochmal dankeschön :-) Lg EllB98 |
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Okay, dass wir den Satz in der Vorlesung bewiesen haben, habe ich dann wohl übersehen, da hätte ich mir also das Verzweifeln sparen können... naja. Ich habe den Beweis jetzt so übernommen, vielen Dank für die Hilfe! :-) LG Lena |
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