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Beweis, dass Q x Q ein Körper ist

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: Beweis, Körper

 
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anonymous

anonymous

13:41 Uhr, 08.11.2009

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Hallo

Folgende Aufgabe:

Es seien Q die rationalen Zahlen. Auf der Menge K=QxQ definieren wir die Verknüpfungen

(a,b)+(a'+b')=(a+a',b+b')

(a,b)⋅(a',b')=(a⋅a'+2⋅b⋅b',a⋅b'+b⋅a')

Zeigen Sie, dass (K,+,⋅) ein Körper ist.


Ich habe bisher zur Addition:

Neutrale Element ist (0,0)
Inverse Element ist (-a,-b)

Aber wie zeige ich die Assoziativität und die Kommutativität.

Zur Multiplikation: Da weiß ich überhaupt nicht wie ich was zeigen soll.
Ich weiß nur, dass ich beweisen soll, dass es hier ein neutrales Element, inverses Element gibt. Die Nullteilerfreiheit erfüllt sein soll, sowie Assoziativität und Kommutativität.
Aber wie ich das mache, das ist mein Problem.

LG

estrella28

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Astor

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13:54 Uhr, 08.11.2009

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Hallo,
also Abgeschlossenheit ist ja wohl sicher.
Assoziativgesetz musst du halt nachrechnen.
Kommutativgesetz auch hinschreiben und nachsehen.
Kommutativ ist die Addition aber auch schon, weil dies auch in "Q" gilt.

bei der Multiplikation muss man halt auch die Gesetze nachrechnen.

Das Element (1,0) ist neutral bezglüch der Multiplikkation.
Gruß Astor
anonymous

anonymous

14:35 Uhr, 08.11.2009

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Ist die Assoziativität so gezeigt:

[(a,b)+(a',b')]+(a'',b'')=(a,b)+[(a',b')+(a'',b'')]
(a+a',b+b')+(a'',b'')=(a,b)+(a'+a'',b'+b'')
((a+a')+a'',(b+b')+b'')=(a+(a'+a''),b+(b'+b''))

Da (Q,+,⋅) ein Körper ist, gilt in (Q,+,⋅) jeweils die additive Assoziativität, und somit folgt:

(a+a'+a'',b+b'+b'')=(a+a'+a'',b+b'+b'')
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mistabishi

mistabishi

20:33 Uhr, 08.11.2009

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Bei uns (tubs → BMI) gibt's Beutelspacher's Lin. Alg. in der Semesterausleihe, da ist sehr verständlich erklärt wie man sowas zeigt ;-)

Frage am Rande: Im Buch steht folgendes:
"Da die Addition komponentenweise erklärt ist, ergeben sich alle Gesetze aus den entsp. Gesetzen von R (den reellen zahlen)", was ja auch logisch ist. Frage ist: reicht das oder muss ich mir die Mühe machen und das ganze so aufschreiben wie Estrella oben?

mfg
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