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Beweis, dass es sich um eine Gruppe handelt
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Tags: abelsch, Beweis, Gruppe
 
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anonymous 19:16 Uhr, 14.12.2007  |
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Sei X ungleich 0. Beweisen Sie, dass S(X):={f:X-->X I f bijektiv} eine Gruppe ist. Zeigen Sie für X=E^3 durch Angabe eines Gegenbeispiels, dass die Gruppe i.A. nicht abelsch ist. Wer kann mir helfen? |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: | |
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Hallo, zu einer Gruppe gehört neben einer Menge auch eine Verknüpfung. Die ist aus deinem Posting nicht ersichtlich. Z.B. bildet die Menge S(X) zusammen mit der Komposition eine Gruppe. Ansonsten könnte man sich zunächst das inverse Element überlegen, und dann die einzelnen Axiome nachweisen. HTH |
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anonymous 12:51 Uhr, 16.12.2007 |
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Ich hab leider auch nicht mehr Angaben, als ich gepostet habe. aber ich würde mal schwer vermuten, dass die Komposition dazugehört. Um zu zeigen, dass es sich um eine Gruppe handelt muss ich ja zeigen, dass sie assoziativ ist, ein neutrales und ein inverses Element enthält. Soweit weiß ich das ja..bei mir scheitert es in der Umsetzung :-( |
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| Ok, du hast die Menge der bijektiven Abbildungen von einer Menge in sich selbst. Was wäre denn das neutrale Element bzgl. der Komposition. D.h. Nimm eine beliebige Funktion f aus S(X). Für welche Funktion e (ebenfalls aus S(X)) gilt denn dann ? | |
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| Überleg dir, wie gesagt, erstmal, wie das neutrale Element aussehen muss. D.h. für eine beliebige (bijektive) Funktion f aus S(X) muss eine Funktion e (ebenfalls aus S(X)) existieren, mit . Vielleicht machst du es dir auch an einer kleinen endlichen Menge mit einem konkreten Beispiel klar. | |
anonymous 16:31 Uhr, 17.12.2007 |
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| Wenn ich jetzt wüsste was S(X) überhaupt ist O:-) | |
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Die Definition von S(X) hast du in der Aufgabenstellung mitgeliefert. Sei X eine beliebige Menge, z.B. X={1,2,3,4}. Dann ist eine Abbildung, die die Elemente von X auf Elemente von X abbildet, z.B.: f(1)=3 f(2)=4 f(3)=4 f(4)=1 Wird zusätzlich gefordert, dass f bijektiv sein soll, so muss jedem Element des Definitionsbereichs (hier X) genau ein Element des Wertebereiches zugeordnet werden. Im obigen Bsp. ist f nicht bijektiv, da sowohl 2 als auch 3 auf 4 abgebildet werden und das Element 2 des Wertebereichs kein Urbild hat. Ein Bsp. für eine bijektive Abbildung ist f(1)=3 f(2)=1 f(3)=2 f(4)=4 Liegt nun eine beliebige Menge X zugrunde, so ist S(X) definiert als die Menge aller bijektiven Abbildungen von X in X. Eine dieser Abbildungen ist nun neutral bezüglich der Komposition. D.h. wenn man diese einer beliebigen Abbildung vor- oder nachschaltet, so ändert dies genau gar nichts. Zu einer bijektiven Abbildung existiert im Übrigen immer die Umkehrabbildung . HTH |
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