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Beweis, dass es sich um einen Körper handelt

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: Beweis, Körper

AlexP aktiv_icon

14:47 Uhr, 24.10.2012

Hallo!
Stehe bei der Frage leider völlig auf der Leitung, ist vielleicht eh recht leicht, aber ich hab halt keine Ahnung. Würde mich über einen Ansatz oder Denkanstoß freuen!

Sei

C =

⟨RxR,+,*⟩ mit

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

und (a.b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc).
Man zeige, dass

C

ein Körper ist!

Ich hab schon versucht mich da irgendwie in ein Koordinatensystem reinzudenken oder sie als Vektoren zu sehen, aber irgendwie hab ich eine komplette Denksperre bei dem Beispiel.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

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Underfaker aktiv_icon

14:49 Uhr, 24.10.2012

Du hast eine Menge und zwei Verknüpfungen die erklärt werden, diese Struktur soll nun ein Körper sein.
Frage: Was ist denn ein Körper?

AlexP aktiv_icon

14:59 Uhr, 24.10.2012

Eine zeichenbare Struktur oder?
Es sind auf alle Fälle die Rechenoperationen an ihnen durchführbar, soviel weiß ich sicher. Sprich ich muss in dem Fall nur beweisen dass die Axiome alle erfüllt sind?

Underfaker aktiv_icon

15:01 Uhr, 24.10.2012

Eine Menge mit zwei Verknüpfungen ist Körper wenn alle Axiome erfüllt sind, um zu zeigen, dass

ℂ

Körper ist, zeigst du natürlich einfach die Axiome.
Deshalb auch meine Frage, für den Anfang muss man wissen welche Axiome es gibt, dannach ist das fast nur noch hinschreiben.

Man sollte sich immer den unterschied kenntlich machen zwischen

+_{ℝ}

und

+_{ℂ}

bzw. analog die Multiplikation.

AlexP aktiv_icon

18:43 Uhr, 24.10.2012

Okay, soweit so klar. Ich muss die Abgeschlossenheit, Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz, neutrales Element und inverses Element für diesen Körper beweisen. Was mich ein wenig stört sind die "," da ich nicht weiß wie ich die behandel soll. Wie ich die Gesetze und die Elemente im allgemeinen Beweise ist mir klar, nur wie gesagt, ich weiß nicht was ich mit den Beistrichen anfangen soll.

Und vor allem warum bei der Multiplikation einmal ac-bd und einmal ad+bc kommt leuchtet mir ehrlich gesagt nicht ein. Würde mich hier über eine Erklärung freuen, hab einfach gesagt keine Ahnung.

Danke übrigends für das schnelle Antworten am Nachmittag!

Underfaker aktiv_icon

18:52 Uhr, 24.10.2012

Nun das Komma trennt zwei Werte, ganz einfach.
Ein Element in

ℂ

sieht bspw. so aus:

(1,0)

deswegen auch

ℝ \times ℝ

Tja warum ist das so in der Multiplikation, eine nichtzufriedenstellende Antwort für dich wäre "Weil es Sinn macht".
Das ist eine Definition, so soll operiert werden über

ℂ,

das nimmst du nun halt so hin.

Wenn du nun bspw. additive Kommutativität zeigen willst, dann geht das so:
Seien

(a, b), (c, d) \in ℂ

beliebig,

z

z

(a, b) + (c, d) = (c, d) + (a, b)

Dann setzt du ein:

(a + c, b + d)

aber hier ist "

+

" eben

+_{ℝ}

und dass die Addition im Körper der reellen Zahlen kommutativ ist wissen wir bereits, also gilt:

(a + c, b + d) = (c + a, d + b) = (c, d) + (a, b)

insgesamt also

(a, b) + (c, d) = (c, d) + (a, b)

AlexP aktiv_icon

20:20 Uhr, 24.10.2012

Habe jetzt in der Zwischenzeit einmal alle anderen Beispiele gerechnet/kontrolliert. Bleibt für mich nur noch dieses Beispiel, aber es will mir auf Teufel komm raus nicht einleuchten. Das Kommutativgesetz für die Multiplikation ist ja dank Ihrer Hilfe auch denkbar einfach herzuleiten.
Das neutrale Element zeige ich einfach ich dem ich es mit einem meiner Variablen in einer Menge verknüpfe und zeige, dass sich der Wert nicht ändert (einmal im addieren, einmal im multiplizieren da es sich hierbei um verschiedene neutrale Elemente handelt)
Das Inverse Element könnte ich ja einbauen, indem ich zeige, dass

e - a = a'

(bzw.

a \cdot a' = e)

ist, und ich demnach ein

a

in meiner Gleichung durch

(e - a)

(bzw.

(\frac{1}{a})

bei der multiplikation) ersetzen könnte ohne das sich etwas ändert.

Was ich jedoch nicht ganz verstehe ist, wie ich as Assoziativ- und das Distributivgesetz vorzeigen soll. Es findet sich ja keine Gleichung mit 3 Variablen, in der ich die Klammern tauschen könnte, oder kann ich einfach a sowohl mit

c

als auch mit

d

verknüpfen? Auch kann ich nicht herausfinden wo ich das Distributivgesetz anwenden könnte, sprich wo eine Multiplikation vor einer Klammer stattfinden würde.

Ehrlich, ich verzweifel an dem Beispiel.

Underfaker aktiv_icon

20:28 Uhr, 24.10.2012

Also, (je nach Vorarbeit (ist im Allgemeinen aber bekannt)) musst du das neutrale Element finden und per einsetzen zeigen, dass es sich wie das neutrale Element verhät, natürlich gibt es wie du schon sagst zwei.

Ähnlich das inverse, das Problem ist, dass das Inverse der Multiplikation nicht einfach so aus dem bauch heraus geraten wird, dieses element ist etwas ausführlicher.

Assoziativgesetz:

1. Addition: Z.

z

((a, b) +_{ℂ} (c, d)) +_{ℂ} (e, f) = (a, b) +_{ℂ} ((c, d) +_{ℂ} (e, f))

2. Multiplikation: Z.

z

((a, b) \cdot_{ℂ} (c, d)) \cdot_{ℂ} (e, f) = (a, b) \cdot_{ℂ} ((c, d) \cdot_{ℂ} (e, f))

Hierfür führst du mittels Definion den Term wieder auf Verknüpfungen über

ℝ

zurück und benutzt dort die bereits bekannten Axiome.

Distributivgesetz:

Z . z

(a, b) \cdot_{ℂ} ((c, d) +_{ℂ} (e, f)) = (a, b) \cdot_{ℂ} (c, d) + (a, b) \cdot_{ℂ} (e, f)

Bei allen 3 Nachweißen ist es nur umschreiben und hin und her rechnen, das ist im Prinzip nur Schreibarbeit und deshalb für Mathe-Anfänger erstmal unnatürlich da man kaum etwas macht.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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