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Beweis der Dreiecksungleichung

Schüler Berufsschulen, 11. Klassenstufe

Tags: Betragsungleichung, Beweis, Dreiecksungleichung

 
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anonymous

anonymous

22:42 Uhr, 02.03.2012

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Hallo,

ich habe ein kleines bzw. großes Problem mit dem Beweisen der Dreiecksungleichung.

Die Aufgabenstellung lautet wie folgt:

Beweisen Sie die Aussage:

∀ x , y ∈ R :   | | x | − | y | | ≤ | x − y | ≤ | x | + | y |

Hinweis: Beachten Sie die Definition des Betrages und nutzen Sie Fallunterscheidungen.

Mein Problem ist es überhaupt erst einen Ansatz zu finden, wie ich am besten mit dem Beweis vorgehe. Ich hoffe ihr habt vielleicht eine Idee wie man an diese Aufgabe herangeht.

Vielen Dank im Voraus!


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

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Mittwoch

Mittwoch aktiv_icon

22:56 Uhr, 02.03.2012

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Am leichtesten ist es vielleicht, du zeigst erst einmal, dass stets gilt:

∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣.

Das sollte mit Fallunterscheidung leicht machbar sein. Dann kannst du so schließen:

∣a∣=∣a-b+b∣≤∣a-b∣+∣b∣

und ebenso

∣b∣=∣b-a+a∣≤∣b-a∣+∣a∣=∣a-b∣+∣a∣,

also (mit Äquivalenzumformung) sowohl ∣a∣-∣b∣≤∣a-b∣, als auch ∣b∣-∣a∣≤∣a-b∣,alsoinsgesamt

∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣

Das ist die eine Ungleichung. Für die zweite nütze wieder das Ergebnis von oben und schließe so:

∣a-b∣=∣a+(-b)∣≤∣a∣+∣-b∣=∣a∣+∣b∣.

(meine a's sind natürlich immer deine x und meine b's deine y)
Frage beantwortet
anonymous

anonymous

17:46 Uhr, 10.03.2012

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Vielen Dank!