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Beweis der Surjektivität von f: X->Y mit fg=idY

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Beweis, Linear Abbildung, surjektivität

DrSvanHay aktiv_icon

19:32 Uhr, 10.02.2019

Hallo,

ich gehe gerade ein Skript durch, in dem folgende Aufgabe gestellt wird. Mir fehlt der zündende Funke für das Verständis.

Gegeben sind

f : X \to Y

und

g : Y \to X

ferner

f \circ g = i d_{y}

und

g \circ f = i d_{x}

. id meint Identität. Weiter sei

x \in X

und

y \in Y

.

Damit soll nun bewiesen werden, dass f surjektiv ist.

Es ist sogar ein Beweisschema vorgegeben: "Ich wählie x = ... damit folgt ... also y = f(x), was die Surjektivität beweist."

Ich könnte die Identität werwenden und sagen

x = g (f (x))

x = g (y)

folgt

y = f (x)

ist das richtig? Wenn ja: So richtig ist mir noch nich klar, warum damit die Surjektivität bewiesen ist. Ich muss ja nicht beweisen, dass es irgendein

(x, y)

mit

y = f (x)

gibt, sondern dass es für jedes y ein solches x gibt.

Ich hoffe, jemand versteht mein Problem und kann mir zum Durchbruch verhelfen.

Herzliche Grüße
Timm

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