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Beweis der Teilbarkeit durch 3

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Tags: Beweis, Quadratzahl, Teilbarkeit

Kitlow aktiv_icon

10:18 Uhr, 16.08.2009

Guten Morgen,
ich habe hier einen Beweis und wollte fragen ob der richtig ist bzw. wie ihr vorgegangen wärt.
Behauptung: Wenn eine Quadratzahl (a²) durch 3 teilbar ist, ist es auch $a$ .

Behauptung in Variablen: Wenn a²=(3c)² dann ist $a = 3 c$
$a, b, c =$ Natürliche Zahlen | (3b=(3c)²

a²=3b | man kann umschreiben
(3c)²= $3 b$ |Wurzel ziehn
$3 c = \sqrt{3 b} |$ da man oben erkennen kann das a²=3b ist muss $\sqrt{3 b} = a$ sein.
$3 c = a |$ man hat $\sqrt{3 b}$ durch a ersetzt.

So: Mir ist natürlich auch klar, dass ich dadurch wie ich die Variablen bennant habe ohne das hinzuziehen der Variable (3c)²=3b auch einfach die Wurzel aus der Gleichung a²=(3c)² ziehen könnte und sofort würde ich erkennen dass $a = 3 c$ ist, ich bin aber der Einsicht, dass dieser Beweis noch schlechter wäre, als der oben.
Vielleicht habt ihr eine andere Idee?

mfg
Kitlow

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

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Astor aktiv_icon

10:32 Uhr, 16.08.2009

Hallo,
mit dem Ansatz " $(3 c)^{2} = 3 b$ nimmst du die Behauptung ja schon als Voraussetzung.

zu zeigen:
wenn 3 die Zahl $a^{2}$ teilt, so teilt auch 3 die Zahl a.
ist gleichwertig mit:
$w e n n 3 d i e Z a h l a n i c h t t e i l t, s o t e i l t a i c h 3 d i e Z a h l$ a^2 $n i c h t .$

Also: a=3n+r daraus folgt: $a^{2} = 9 n^{2} + 6 n * r + r^{2} = 3 * (3 n^{2} + 2 * n * r) + r^{2}$ . Somit ist $a^{2}$ nicht durch 3 teilbar. Denn $r^{2}$ ist nicht durch 3 teilbar. r hat ja laut Voraussetzung den Wert 1 oder 2.

Gruß Astor

Kitlow aktiv_icon

11:14 Uhr, 16.08.2009

vielen Dank Astor

Spieler5 aktiv_icon

13:35 Uhr, 16.08.2009

Tut mir leid, dass ich mich hier einmische, ich hab eigentlich mit meinen 5 Jahren Realschule keine Erfahrung mit Beweisen. Vielleicht denk ich auch nur falsch.

Quadratzahlen: $1,4,9,16,25,36 . .$ .

Welche sind durch 3 teilbar? 9 und $36$ und $. .$ . (jede 3. Quadratzahl)

$\sqrt{9} = 3 . .$ . durch 3 Teilbar... $\sqrt{36} = 6 . .$ . durch 3 Teilbar, denn es ist ja immer die 3. Zahl.

zu meiner Aussage: jede 3. Quadratzahl ist durch 3 Teilbar:

Wenn man sich das Bildungsgesetz der Quadratzahlen anschaut:

$1 = 1$
$1 + 3 = 4$
$1 + 3 + 5 = 9$
$1 + 3 + 5 + 7 = 16$
$1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25$

Alle ungerade Zahlen addiert bis zur Quadratzahl $a^{2}$

Die Folge der ungerade Zahlen ist $a_{n} = 2 n - 1$

$(2 n - 1) + (2 (n + 1) - 1) + (2 (n + 2) - 1)$

Das sind 3 aufeinanderfolgende ungerade Zahlen.

Ein bisschen umgestellt:

$(2 n - 1) + (2 n + 2 - 1) + (2 n + 4 - 1) = 6 n + 3$ Auch durch 3 Teilbar.

Mal sehen was die anderen dazu sagen $. .$ .

Grüße

Nachtrag: @Astor: könnte $r$ nicht auch 0 sein?

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