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Beweis der Teileranzahlfunktion

Universität / Fachhochschule

Tags: Anzahl, Beweis, ggT, Primfaktorzerlegung, Teilermenge

 
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Sonne2121

Sonne2121 aktiv_icon

22:06 Uhr, 08.12.2021

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Beweise:

Sei a€N\{1} und die Primfaktorzerlegung von a
a=p1m1⋅ … ⋅pkm⋅k

Dann ist |T(a)|=(m1+1)⋅(m2+1)⋅ … ⋅(mk+1).

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

22:23 Uhr, 08.12.2021

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Hallo,

nehmen wir mal zwei teilerfremde (!) Zahlen a,b∈ℕ≥2 her.

Seien die Teilermengen Ta={x∈ℕ*∣x∣a} und Tb={x∈ℕ*∣x∣b}.

Versuche zu beweisen, dass dann Ta⋅b=Ta⋅Tb={x⋅y∣x∈Ta,y∈Tb} gilt.

Insbesondere gilt dann ∣Ta⋅b∣=∣Ta∣⋅∣Tb∣, d.h. die Anzahl der Teiler ist eine multiplikative Funktion (d.h. verhält sich für teilerfremde Zahlen multiplikativ).

Wenn du das bewiesen hast, ergibt sich die Behauptung daraus, dass Tpm={pk∣0≤k≤m} für eine Primzahl p und m∈ℕ gilt. Insbesondere ist ∣Tpm∣=m+1.

Mfg Michael
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