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Beweis des Assoziativgesetzes (Multiplikation)

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Assoziativgesetz, Beweis, Komplexe Zahlen, Multiplikation

blind310 aktiv_icon

20:15 Uhr, 25.01.2010

Hallo, Leute. Das ist mir jetzt etwas peinlich, weil ich sonst eigentlich extremst gut in Mathe bin, aber ich komme bei einer Rechnung nicht weiter. Und zwar müsste ich mit komplexen Zahlen das Assoziativgesetz für Multiplikation beweisen. Zur Vereinfachung rechne ich jetzt mit a bis

f

und nicht

α

bis

ζ

Also ich bin bisher so weit:

P 1 = (a + b i)

P 2 = (c + d i)

P 3 = (e + f i)

(P 1 \cdot P 2) \cdot P 3 = P 1 \cdot (P 2 \cdot P 3)

((a + b i) \cdot (c + d i)) \cdot (e + f i) = (a + b i) \cdot ((c + d i) \cdot (e + f i))

((ac - bd)

+

(bc

+

ad)

i) \cdot (e + f i) = (a + b i) \cdot

((ce - df)

+

(de

+

cf)

i)

Und genau hier komme ich jetzt nicht weiter. Wie muss ich hier jetzt weiterrechnen? Ich bin echt total verzweifelt

. .

. Wäre nett, wenn mir da wer helfen könnte

Danke im Voraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Multiplikation und Division von Brüchen
Rechnen mit Klammern
Terme vereinfachen - Fortgeschritten

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Edddi aktiv_icon

08:36 Uhr, 26.01.2010

...weitermachen!!!

((a + b \cdot i) \cdot (c + d \cdot i)) \cdot (e + f \cdot i) = (a + b \cdot i) \cdot ((c + d \cdot i) \cdot (e + f \cdot i))

((a \cdot c - b \cdot d) + (a \cdot d + b \cdot c) \cdot i) \cdot (e + f \cdot i) = (a + b \cdot i) \cdot ((c \cdot e - d \cdot f) + (c \cdot f + d \cdot e) \cdot i)

linker Term:

= e \cdot ((a \cdot c - b \cdot d) + (a \cdot d + b \cdot c) \cdot i) + f \cdot i \cdot ((a \cdot c - b \cdot d) + (a \cdot d + b \cdot c) \cdot i)

= ((e \cdot a \cdot c - e \cdot b \cdot d) + (e \cdot a \cdot d + e \cdot b \cdot c) \cdot i) + ((a \cdot c \cdot f - b \cdot d \cdot f) \cdot i - (a \cdot d \cdot f + b \cdot c \cdot f))

= (e \cdot a \cdot c - e \cdot b \cdot d - a \cdot d \cdot f - b \cdot c \cdot f) + (e \cdot a \cdot d + e \cdot b \cdot c + a \cdot c \cdot f - b \cdot d \cdot f) \cdot i)

rechter Term:

= a \cdot ((c \cdot e - d \cdot f) + (c \cdot f + d \cdot e) \cdot i) + b \cdot i \cdot ((c \cdot e - d \cdot f) + (c \cdot f + d \cdot e) \cdot i)

= ((a \cdot c \cdot e - a \cdot d \cdot f) + (a \cdot c \cdot f + a \cdot d \cdot e) \cdot i) + ((c \cdot e \cdot b - d \cdot f \cdot b) \cdot i - (b \cdot c \cdot f + b \cdot d \cdot e))

= ((a \cdot c \cdot e - a \cdot d \cdot f - b \cdot c \cdot f - b \cdot d \cdot e) + (a \cdot c \cdot f + a \cdot d \cdot e + c \cdot e \cdot b - d \cdot f \cdot b) \cdot i)

wenn du die Terme vergleichst, siehst du, das sie identisch sind!

;-)

blind310 aktiv_icon

22:51 Uhr, 26.01.2010

Hallo, Edddi.
Vielen lieben Dank für deine Hilfe

Lenchen223 aktiv_icon

10:43 Uhr, 17.12.2013

Hallo,
ich weiß, dass dieser Beitrag schon etwas älter ist, aber könnte mir einer vielleicht erklären, wie ihr auf die Lösung gekommen seid? Also diese Gedankenstriche die man in der Schule immer machen musste

\land

Wäre super! Danke :-)

blind310 aktiv_icon

11:23 Uhr, 17.12.2013

Hallo Lenchen223,
Eigentlich ist diese Rechnung stupides Ausrechnen ohne irgendeinen besonderen Trick. Der einzige Grund wieso ich damals ein Problem damit hatte war, dass ich gut 3 Seiten Rechnungen mit grichischen Buchstaben am Stück geschrieben habe und wirklich nur noch grichisch gesehen habe. Auch nach 2 Tagen Pause hab ich total den Überblick verloren habe, sobald ich die Rechnung versucht habe zu lösen.
Nach 3 Jahren hab ich sie grade nochmal angeschaut und es ging sofort wieder. Es dauert vielleicht ein bisschen Zeit, aber nen bestimmten Trick die Lösung zu verstehen bzw die Aufgabe zu lösen gibt es nicht.
Versuch vielleicht mal sie selbst auszurechnnlen, dann wird es dir etwas klarer. Aber bedenke bitte, dass es sich in dem Fall um den Beweis des Assoziativgesetzes mit komolexen Zahlen geht, also mit einem größeren Bereich als die normal verwendeten reellen Zahlen.

Wenn du weiterhin Verständnisprobleme haben solltest, schreib mir einfach mal, dann werd ich dir gerne helfen, nur momentan sitz ich auf der Arbeit und schreibe mit dem Handy ;-)

Liebe Grüße,
Blind310

Lenchen223 aktiv_icon

11:42 Uhr, 17.12.2013

Das es um die komplexen Zahlen geht war mir klar;-) Sitze gerade vor meiner Ausarbeitung zu dem Thema ;-)
Habe es auch selbst aufgeschrieben und nachgerechnet. und siehe da, ich hatte die ganze Zeit einen Schreibfehler in meiner Abschrift und das hat mich so verwirrt.
Aber danke nochmal! :-)

tomber aktiv_icon

03:03 Uhr, 29.11.2015

Hallo,

Falls das noch jemand liest, hätte ich gerne eine kleine Erklärung:

Eddi spricht davon, dass beide Terme (linke und rechte Seite) schlussendlich identisch sind. Sind sie ja auch.
Jetzt habe ich das ganze statt mit komplexen Zahlen in Normalform mit komplexen Zahlen in Tupelform beweisen wollen. Einfach nur, weil unser Prof, dass im Skript für alles vorige (Addition, Kommutativgesetz etc. auch so gemacht hat). Bei Assoziativität schrieb er: "Gilt, eine Nachrechnung wird in diesem Fall dem Leser überlassen."

Die komplexe Zahl

z

(element)

C

ist definiert als

z = (x, y),

die komplexe Multiplikation als

z_{1} \cdot z_{2} = (x_{1} x_{2} - y_{1} y_{2}, x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1})

.

Kann man das so mit der Darstellung der komplexen Zahl als Zahlenpaar auch rechnen? Oder verwendet man grundsätlich die Normalform

z = x + y i

zum Rechnen?

Edddi aktiv_icon

13:08 Uhr, 29.11.2015

. .

. du musst dann nur noch

a \cdot (x, y) = (a x, a y) = (x, y) \cdot a

gezeigt haben. Dann ist:

z_{1} \cdot (z_{2} \cdot z_{3}) = (z_{1} \cdot z_{2}) \cdot z_{3}

(x_{1}, y_{1}) \cdot ((x_{2}, y_{2}) \cdot (x_{3}, y_{3})) = ((x_{1}, y_{1}) \cdot (x_{2}, y_{2})) \cdot (x_{3}, y_{3})

(x_{1}, y_{1}) \cdot (x_{2} x_{3} - y_{2} y_{3}, x_{2} y_{3} + x_{3} y_{2}) = (x_{1} x_{2} - y_{1} y_{2}, x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1}) \cdot (x_{3}, y_{3})

(x_{1} (x_{2} x_{3} - y_{2} y_{3}) - y_{1} (x_{2} y_{3} + x_{3} y_{2}), x_{1} (x_{2} y_{3} + x_{3} y_{2}) + (x_{2} x_{3} - y_{2} y_{3}) y_{1})

= ((x_{1} x_{2} - y_{1} y_{2}) x_{3} - (x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1}) y_{3}, (x_{1} x_{2} - y_{1} y_{2}) y_{3} + x_{3} (x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1}))

(x_{1} x_{2} x_{3} - x_{1} y_{2} y_{3} - y_{1} x_{2} y_{3} - x_{3} y_{1} y_{2}, x_{1} x_{2} y_{3} + x_{1} x_{3} y_{2} + x_{2} x_{3} y_{1} - y_{1} y_{2} y_{3})

= (x_{1} x_{2} x_{3} - x_{3} y_{1} y_{2} - x_{1} y_{2} y_{3} - x_{2} y_{1} y_{3}, x_{1} x_{2} y_{3} - y_{1} y_{2} y_{3} + x_{1} x_{3} y_{2} + x_{2} x_{3} y_{1})

Wie du siehst, sind die beiden Komponeneten identisch.

;-)

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