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Beweis des Kathetensatz

Schüler Gymnasium, 9. Klassenstufe

Tags: Beweis, Euklid, Kathetensatz, Satz Des Euklid, Satzgruppe des Pythagoras

Staubkoernchen aktiv_icon

13:34 Uhr, 07.02.2010

Ich suche schon seit 8 Uhr nach dem Beweis des Kathetensatzes. Wieso?
Ganz einfach: Mir fällt es schwer, etwas ohne Beweis hinzunehmen. Als ich meinen Mathelehrer nach dem Beweis gefragt hab, hat mir aufgegeben, ein Referat dazu zu machen.
Wikipedia ist verwirrend: a²= c²− b²= p²+ 2pq

+

q²− (q²+ h²) verstehe ich nicht so ganz ;-) und der euklidische Beweis klingt auch ganz merkwürdig:
Wegen BC

| |

AF haben die beiden Dreiecke AFC und AFB denselben Flächeninhalt (Grundlinie und Höhe der beiden Dreiecke sind identisch). Wegen CD

| |

AH sind auch die Dreiecke AHD und AHC flächeninhaltsgleich.
-Wieso sind die den paralell?

Für die Dreiecke ABF und AHC gilt nun aber:

|AB| = |AH|

(=

Hypotenuse

c)

|AF| = |AC|

(=

Kathete

b)

-???
Kann es mir jemand so erklären, dass ich es auch verstehe? Danke^^

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kathetensatz

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Shipwater aktiv_icon

13:49 Uhr, 07.02.2010

a^{2} = c^{2} - b^{2}

c = p + q

und

b^{2} = h^{2} + q^{2}

Kannst du hier sehen:
http://www.asamnet.de/~sigwarts/facharbeit/images/2_bild3.jpg
Das ersetzen:

a^{2} = {(p + q)}^{2} - (h^{2} + q^{2})

{(p + q)}^{2} = p^{2} + 2 p q + q^{2}

nach der ersten binomischen Formel, also:

a^{2} = p^{2} + 2 p q + q^{2} - (h^{2} + p^{2})

Und hier unter Beweis 2 werden unter anderem die Kathetensätze über die Ähnlichkeit hergeleitet:
http://www.asamnet.de/~sigwarts/facharbeit/beweis.htm

Shipwater

Staubkoernchen aktiv_icon

15:05 Uhr, 07.02.2010

Man könnte ja sagen:
h²=a²-p²
Wäre dann:
a²=p²+2pq+q²-(a²-p²+q²)
Soweit richtig?

mathos aktiv_icon

15:08 Uhr, 07.02.2010

Hallo,
nur so als kleine Randbemerkung:

Eine Beweisfigur findest du auch auf www.mathoid.de

Schaue dort im Register nach.
LG

Shipwater aktiv_icon

15:10 Uhr, 07.02.2010

Ja, soweit richtig.

Staubkoernchen aktiv_icon

15:27 Uhr, 07.02.2010

Kann ich die Klammer hier einfach weglassen und p²-p² und q²-q² rechnen, sodass a²=2pq-a² rauskommt, ich dann

| + a^{2}

rechne, sodass ich
2a²=2pq herausbekomme und

| : 2

a²=2pq?
Und, kleine Randfrage: a²+b²=(a+b)² oder a²*b²=(ab)²?
EDIT: Ah, stop, das ist ja Quatsch^^ aber wo lag der Fehler?

Shipwater aktiv_icon

15:31 Uhr, 07.02.2010

Du kannst die Klammer nicht einfach weglassen. Du musst beachten, dass ein Minus vor der Klammer alle Vorzeichen in der Klammer ändert.

a^{2} = p^{2} + 2 p q + q^{2} - (a^{2} - p^{2} + q^{2})

a^{2} = p^{2} + 2 p q + q^{2} - a^{2} + p^{2} - q^{2}

2 a^{2} = 2 p^{2} + 2 p q

a^{2} = p^{2} + p q

a^{2} = p (p + q)

und da

p + q = c

a^{2} = p \cdot c

Staubkoernchen aktiv_icon

15:34 Uhr, 07.02.2010

Ach ja, stimmt ja! Jetzt macht's Sinn! Danke!

Shipwater aktiv_icon

15:36 Uhr, 07.02.2010

Gern geschehen.

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