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Beweis durch vollständige Induktion

Schüler , 11. Klassenstufe

Tags: Beweis, Induktion

 
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3r0rXx

3r0rXx aktiv_icon

22:33 Uhr, 17.10.2018

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Hallo liebes Forum,

ich habe hier eine Aufgabe die fordert, dass man durch vollständige Induktion beweisen müsse,
dass 3n-3

"n Element aus der Menge der natürlichen Zahlen (ohne null)"

durch 6 teilbar sei.

Meine Idee war (von der ich meine das sie zu simpel um richtig zu sein ist)

Induktionsanfang:

31-3 MOD 6=0| richtig.

Induktionsvoraussetzung:
3n-3 MOD 6=0

Induktionsannahme:
3n+1-3 MOD 6=0

Induktionsschritt:

(3n)⋅3-3 ist dasselbe wie die Induktionsannahme:
also 3n+1-3, womit gilt

3n+1-3 MOD 6=0

Darf man das einfach so machen?

Danke!

_

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Online-Nachhilfe in Mathematik
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22:53 Uhr, 17.10.2018

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Du hast eigentlich nur die Behauptung anders hingeschrieben, aber nicht bewiesen.
Sei die Behauptung für n schon bewiesen, also 6|3n-3⇔∃k∈ℕ mit 3n-3=6⋅k⇔3n=6⋅k+3

n+1
3n+1-3=3n⋅3-3=(6⋅k+3)⋅3-3=18⋅k+9-3=18⋅k+6=6⋅(3⋅k+1)
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23:02 Uhr, 17.10.2018

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Und "abhaken", wenn erledigt.
3r0rXx

3r0rXx aktiv_icon

23:42 Uhr, 17.10.2018

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Hallo,
danke für die Antwort.

Soweit ich das verstehe, erhälst du für 3n=6⋅k+3 (vermute mal darauf kommst du über die Definition der Teilbarkeit, also a⋅n=b)

wodurch du dann 3n eben durch diesen ersetzt, also fortan:

(6⋅k+3)⋅3-3, wodurch eben die 6⋅(3k+1) resultieren.

Inwiefern hätte ich aber denn damit was bewiesen?

Lieben Dank.

Addendum:
Ach... jetzt verstehe ich: Damit zeige ich das 3n+1-3 Vielfaches von 6 hat... weil ja
6*(3k+1)immer durch 6 teilbar ist.

So richtig?
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00:34 Uhr, 18.10.2018

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Ja, so ist es.
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