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Beweis durch vollständige Induktion

Universität / Fachhochschule

Tags: Beweis, Induktion, Vollständig Induktion

Dornroeschen90 aktiv_icon

17:58 Uhr, 30.10.2010

Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion:

\sum_{k = 1}^{n} k ² = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}

Ich habe so angefangen:

Induktionsanfang:

n = 1

\sum_{k = 1}^{1} = 1 ² = 1 = \frac{1 (1 + 1) (2 • 1 + 1)}{6} = \frac{1 • 2 • 3}{6} = \frac{6}{6} = 1

(wahre Aussage)

Induktionsschritt:
Voraussetzung:

\sum_{k = 1}^{n} k ² = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}

Beweis:

\sum_{k = 1}^{n + 1} k ² = \sum_{k = 1}^{n} k ² + (n + 1) ² = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} + (n + 1) ²

Und nun komm ich nicht weiter... wie fasse ich das denn am besten zusammen, damit ich zu einem brauchbaren Ergebnis komme?

Hierzu passend bei OnlineMathe:

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Shipwater aktiv_icon

18:20 Uhr, 30.10.2010

Ich würde anders vorgehen:

\sum_{k = 1}^{n + 1} k^{2} = \frac{(n + 1) (n + 2) (2 n + 3)}{6}

soll bewiesen werden unter der Annahme, dass

\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}

gilt.

\sum_{k = 1}^{n} k^{2} + {(n + 1)}^{2} = \frac{(n + 1) (n + 2) (2 n + 3)}{6}

Wegen der Induktionsannahme kannst du nun

\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}

ersetzen:

\frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} + {(n + 1)}^{2} = \frac{(n + 1) (n + 2) (2 n + 3)}{6}

Die Gleichheit hiervon musst du nun zeigen.

Gruß Shipwater

Flo1990 aktiv_icon

18:43 Uhr, 30.10.2010

Hallo,
ich hatte die Aufgabe selbst vor ein paar Tagen gerechnet und du musst erstmal alles auf einen Hauptnenner bringen und klammerst dann am besten

(n + 1)

aus. Danach hast du irgendwann etwas in folgender Form stehen:

(n + 1) (x^{2} + b x + c)

. Die 2. Klammer musst du nun über Mitternachtsformel umformen und in die Form

(x - a) (x - b)

schreiben. Dann hast du dein Ergebnis auch schon.

Shipwater aktiv_icon

18:50 Uhr, 30.10.2010

Bei meinem Ansatz muss man nur die Gleichheit zeigen, was in meinen Augen schneller geht. Aber jeder darf natürlich rechnen wie er möchte.

Gruß Shipwater

Flo1990 aktiv_icon

19:14 Uhr, 30.10.2010

Der Weg ist der selbe. Man wird nicht drum rum kommen, die Gleichheit zu zeigen. Wollte nur sagen, wie man dabei am besten vorgeht.

Shipwater aktiv_icon

19:49 Uhr, 30.10.2010

Bei deinem Ansatz muss man die rechte Seite umformen zu

\frac{(n + 1) (n + 2) (2 n + 3)}{6}

. Bei meinem Ansatz muss man nur die Gleichheit von

\frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} + {(n + 1)}^{2}

und

\frac{(n + 1) (n + 2) (2 n + 3)}{6}

zeigen. Das geht ja auch durch Ausmultiplizieren. Deswegen meinte ich, dass mein Ansatz in meinen Augen der "einfachere" ist.

Gruß Shipwater

Dornroeschen90 aktiv_icon

09:36 Uhr, 31.10.2010

Konnte die Antwort von Shipwater sehr gut nachvollziehen und hab durch Multiplikation auch die Gleichheit der beiden Aussagen bewiesen. Aber was weis ich da genau nach? Und würde das meinem Prof so ausreichen?

Die Lösung von Flo1990 verstehe ich aber gar nicht. Könntest du das vielleicht nochmal für Dummies erklären? :-)

Shipwater aktiv_icon

11:57 Uhr, 31.10.2010

Du beweist mit dem Induktionsschritt, dass wenn

\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}

gilt, auch

\sum_{k = 1}^{n + 1} k^{2} = \frac{(n + 1) (n + 2) (2 n + 3)}{6}

gilt. Mit dem Induktionsanfang hast du gezeigt, dass ersteres für

n = 1

gilt, also gilt es somit auch für

n = 2

. Da es für

n = 2

gilt, gilt es dann auch für

n = 3

und so weiter. Insgesamt gilt es für alle natürlichen Zahlen. Und Flo1990 meinte einfach, dass du wiefolgt umformst:

\frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} + {(n + 1)}^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1) + 6 {(n + 1)}^{2}}{6} = \frac{(n + 1) \cdot [n (2 n + 1) + 6 (n + 1)]}{6}

= \frac{(n + 1) \cdot (2 n^{2} + n + 6 n + 6)}{6} = \frac{(n + 1) \cdot (2 n^{2} + 7 n + 6)}{6} = \frac{(n + 1) (n + 2) (2 n + 3)}{6}

2 n^{2} + 7 n + 6 = (n + 2) (2 n + 3)

muss man erst herausfinden, indem man die Nullstellen bestimmt.

2 n^{2} + 7 n + 6 = 0 \Leftrightarrow n^{2} + \frac{7}{2} n + 3 = 0 \Leftrightarrow n_{1,2} = - \frac{7}{4} \pm \sqrt{\frac{49}{16} - 3} \Leftrightarrow n_{1,2} = - \frac{7}{4} \pm \sqrt{\frac{49}{16} - \frac{48}{16}}

n_{1,2} = - \frac{7}{4} \pm \sqrt{\frac{1}{16}} \Leftrightarrow n_{1,2} = - \frac{7}{4} \pm \frac{1}{4} \Leftrightarrow n_{1} = - \frac{7}{4} + \frac{1}{4} = - \frac{6}{4} = - \frac{3}{2}

und

n_{2} = - \frac{7}{4} - \frac{1}{4} = - \frac{8}{4} = - 2

\Rightarrow 2 n^{2} + 7 n + 6 = 2 (n + \frac{3}{2}) (n + 2) = (2 n + 3) (n + 2)

Gruß Shipwater

Dornroeschen90 aktiv_icon

12:01 Uhr, 31.10.2010

Danke Leute ! :-D)

Jetzt habe ich es verstanden :-).

Shipwater aktiv_icon

12:04 Uhr, 31.10.2010

Gern geschehen.

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