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Beweis durch vollständiger Induktion

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Beweis, Vollständig Induktion

Afghani aktiv_icon

20:52 Uhr, 28.11.2017

Guten Abend,
Ich hoffe jemand ist so nett und hilft mir bei diese Aufgabe weiter. Ich habe es bis zum I.Schritt geschafft allerdings bin ich mir nicht sicher ob ich das richtig habe .
( Siehe Bild wenn Es lesbar ist )

5 | (7^{n} - 2^{n})

I.V

: 5 | 7^{k} - 2^{k}

I.B:

5 | 7^{k} + 1 - 2^{k} + 1

I.S:

5 | 7 \cdot 7^{k} - 2^{k} \cdot 2

5 | 5 (2 + 0,8) \cdot 7^{k} - 2^{k} \cdot 5 (0,4)

Habe die 7 ausgeklammert damit 5 als vorfaktor steht ist das richtig ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

rundblick aktiv_icon

21:39 Uhr, 28.11.2017

.
Vorschlag: schreibe die Behauptung, dass 5 Teiler von

\to 7^{n} - 2^{n}

ist, so->

A (n) :

7^{n} - 2^{n} = k \cdot 5 ... .

. mit

k \in ℕ

beim Schluss von

n

auf

(n + 1)

musst du nun zeigen, dass dann daraus folgt

\to

A (n + 1) :

7^{n + 1} - 2^{n + 1} = m \cdot 5 ... .

. mit

m \in ℕ

also

\to

7^{n} - 2^{n} = k \cdot 5 ... ... ... .

. auf beiden Seiten mal

\to 7 \Rightarrow

7^{n + 1} - 2^{n} \cdot 7 = 7 \cdot k \cdot 5

7^{n + 1} - 2^{n} \cdot (2 + 5) = 7 \cdot k \cdot 5

7^{n + 1} - 2^{n + 1} - 5 \cdot 2^{n} = 7 \cdot k \cdot 5

7^{n + 1} - 2^{n + 1} = 5 \cdot 2^{n} + 7 \cdot k \cdot 5

7^{n + 1} - 2^{n + 1} = (2^{n} + 7 \cdot k) \cdot 5

...und nun ist

\to m = (2^{n} + 7 \cdot k) \in ℕ .

. weil ja

k \in ℕ

\Rightarrow 7^{n + 1} - 2^{n + 1} = m \cdot 5 . .

. mit

m \in ℕ

also: aus

A (n)

wahr folgt

\to A (n + 1)

wahr

ok?
.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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