Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Beweis eindeutige Lösung der Differentialgleichung

Beweis eindeutige Lösung der Differentialgleichung

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Beweis, Differentialgleichung, Eindeutigkeit

DerGraf aktiv_icon

21:33 Uhr, 15.11.2008

Hallo,

Ich habe folgende Aufgabe zu lösen:

Sei $A \in C (R, R^{n \times n})$ und $b \in C (R, R^{n})$ . Beweisen Sie, dass das Anfangswertproblem $u^{'} (t) = A (t) u (t) + b (t)$ , $u (t_{0}) = u_{0}$ zu jedem $u_{0} \in R^{n}$ genau eine Lösung besitzt, welche für alle $t \in R$ existiert.

Dabei sollen wir den Existens- und Eindeutigkeitssatz sowie den Fortsetzungssatz verwenden.

Hat einer vielleicht eine Idee, wie ich hier vorgehen soll? Ich bräuchte dringend etwas Hilfe und bin für jeden Tipp dankbar.

Gruß DerGraf

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

anonymous

18:38 Uhr, 16.11.2008

Hallo,

bin mir nicht sicher, wie du hier den Fortsetzungssatz anwenden sollst. Aber soviel ich weiß ist das AwP einer DGL eindeutig, wenn das DGL-System 1.Ordnung

x ʹ (t) = G (x (t), t))

auf einer offenen Menge um den Anfangswert nach

x

partiell stetig diff'bar ist.

Nun ist bei der DGL, wenn ich das richtig sehe, die partielle Ableitung nach

u_{i}

genau die

i

-te Spalte von

A (t)

. Und diese ist widerum stetig. Also kann nun der EES angewendet werden.

Gruß
Tobias

DerGraf aktiv_icon

22:51 Uhr, 16.11.2008

Hallo,

vielen Dank für deine schnelle Antwort. Wie sehe ich denn, dass die i-te Spalte von meinem A(t) genau die partielle Ableitung von u nach der i-ten Komponente ist? Darüber hinaus gilt der EES nur für lipschitzstetige Funktionen, weshalb ich annehme, dass du mit stetig lipschitzstetig meinst. Habe ich damit recht?

Gruß DerGraf

anonymous

17:53 Uhr, 18.11.2008

Entschuldige bitte, dass ich mich erst jetzt melde... Ja, ich meine wohl lipschitz stetig =) (bzw. lokal lipschitz stetig?!?). Aber die partielle Ableitung setzt ergibt sich, indem man

A (t) u (t) = \sum_{k = 1}^{n} u_{k} (t) \cdot a_{k} (t)

, wobei

a_{k} (t)

die k-te Spalte von

A

ist (also einfach Matrixmultiplikation).

Und bestimme ich nun

\frac{d}{d u_{i}} (A (t) u (t)) = \frac{d}{d u_{i}} (\sum_{k = 1}^{n} u_{k} (t) \cdot a_{k} (t)) = u_{i} (t) \cdot a_{i} (t)

, denn die anderen Terme der Summe sind bzgl

u_{i}

konstant und fallen somit weg...

DerGraf aktiv_icon

19:02 Uhr, 18.11.2008

Vielen Dank für deine Hilfe! Jetzt hab ich den Beweis verstanden :D

Gruß DerGraf

549708

548496

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?