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Beweis einer Gleichheit zum Thema Matrizen

Universität / Fachhochschule

Tags: Beweis, matriz

BulettenJoergi aktiv_icon

15:29 Uhr, 07.01.2017

Und zwar soll ich die Im Foto unter NB2 stehende Gleichung beweisen.
Und das im Bezug zu dem (Hinweis: Eine kommentarlose Rechnung ist
kein Beweis; Aussagen sind verlangt. Es wird dort die Gleichheit zweier Objekte behauptet. Wie
ist das linke Objekt definiert, wie das rechte? Weshalb sind sie gleich?)

Dabei benötige ich Hilfe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

pwmeyer aktiv_icon

19:45 Uhr, 07.01.2017

Hallo,

die Aufgabe ist so einfach, dass es schwer fällt, dazu etwas zu schreiben. Die linke Seite ist als Produkt von Matrix mit Vektor definiert, die rechte als Linearkombination von Vektoren. Wenn man beides ausführt, erhält man eben dasselbe.

Gruß pwm

BulettenJoergi aktiv_icon

20:43 Uhr, 07.01.2017

Das wäre dann doch aber nur ausrechnen... Und somit laut dem Hinweis ja kein Beweis. Oder verstehe ich das falsch.

abakus

20:55 Uhr, 07.01.2017

Du kannst doch die Matrizenmultiplikation auf der linken Seite komplett ausführen.
Du bekommst als Ergebnis einen Vektor, dessen oberstes Element gerade die Summe

a_{11} \cdot t_{1} + a_{12} \cdot t_{2} + \dots a_{1 r} \cdot t_{r}

ist.
Sein zweites Element ist

a_{21} \cdot t_{1} + a_{22} \cdot t_{2} + \dots a_{2 r} \cdot t_{r}

usw.
Sein letztes Element ist

a_{n 1} \cdot t_{1} + a_{n 2} \cdot t_{2} + \dots a_{n r} \cdot t_{r}

.

Wenn du auf der rechten Seite die vorgegebenen Vektoren mit den jeweiligen t-Werten multiplizierst und diese Produkte addierst, bekommst du das gleiche Ergebnis.

BulettenJoergi aktiv_icon

21:35 Uhr, 07.01.2017

Also das Errechnen habe ich verstanden . mir ist aber unklar , was ich für Aussagen und Erklärungen wie im Hinweis gefordert, ich schreiben soll, damit es ein Beweis ist.

mihisu aktiv_icon

23:22 Uhr, 07.01.2017

Ich würde das wohl in etwa so aufschreiben, da ich denke, dass es so, oder so ähnlich, gemeint sein könnte:

Auf der linken Seite der behaupteten Gleichung steht das Produkt einer

n \times r

-Matrix mit einer

r \times 1

-Matrix, was eine

n \times 1

-Matrix ergibt.
Auf der rechten Seite der behaupteten Gleichung die Summe von Vielfachen von

n \times 1

-Matrizen, was eine

n \times 1

-Matrix ergibt.

\\\Bemerkung\\\
Zwei Matrizen

A = (a_{i j})_{\begin{array}{rcl} i = 1, \dots, r \\ j = 1, \dots, s \end{array}}

und

B = (b_{i j})_{\begin{array}{rcl} i = 1, \dots, \tilde{r} \\ j = 1, \dots, \tilde{s} \end{array}}

sind gleich, wenn sie vom gleichen Typ sind (d.h. gleiche Zeilenanzahl haben und gleiche Spaltenanzahl haben, also

r = \tilde{r}

und

s = \tilde{s}

) und die Matrizen eintragsweise übereinstimmen (d.h. für alle

i \in {1, \dots r}

und alle

j \in {1, \dots s}

ist

a_{i j} = b_{i j}

).
\\\Ende der Bemerkung\\\

Beide Matrizen sind vom gleichen Typ, nämlich

n \times 1

.
Im Folgenden soll für alle

i \in {1, \dots, n}

und für

j = 1

der Eintrag der Matrix auf der linken Seite der behaupteten Gleichung in der

i

-ten Zeile und der

j

-ten Spalte mit

λ_{i j}

bezeichnet werden. Analog sollen die Einträge der Matrix auf der rechten Seite mit

μ_{i j}

bezeichnet werden.

Betrachte zunächst die linke Seite der Gleichung. Nach Definition der Matrixmultiplikation ist für alle

i \in {1, \dots, n}

und für

j = 1

λ_{i j} = \sum_{k = 1}^{r} α_{i k} t_{k}

.

Betrachte nun die rechte Seite der Gleichung. Es ist

(\begin{array}{rcl} μ_{11} \\ ⋮ \\ μ_{n 1} \end{array}) = t_{1} (\begin{array}{rcl} α_{11} \\ ⋮ \\ α_{n 1} \end{array}) + \dots + t_{r} (\begin{array}{rcl} α_{1 r} \\ ⋮ \\ α_{n r} \end{array})

.
Nach Definition der skalaren Multiplikation mit einer Matrix (nämlich eintragsweise), folgt:

(\begin{array}{rcl} μ_{11} \\ ⋮ \\ μ_{n 1} \end{array}) = (\begin{array}{rcl} t_{1} α_{11} \\ ⋮ \\ t_{1} α_{n 1} \end{array}) + \dots + (\begin{array}{rcl} t_{r} α_{1 r} \\ ⋮ \\ t_{r} α_{n r} \end{array})

.
Nach Kommutativität der Multiplikation im Grundkörper, folgt

(\begin{array}{rcl} μ_{11} \\ ⋮ \\ μ_{n 1} \end{array}) = (\begin{array}{rcl} α_{11} t_{1} \\ ⋮ \\ α_{n 1} t_{1} \end{array}) + \dots + (\begin{array}{rcl} α_{1 r} t_{r} \\ ⋮ \\ α_{n r} t_{r} \end{array})

.
Nach Definition der Addition von Matrizen (nämlich eintragsweise), folgt

(\begin{array}{rcl} μ_{11} \\ ⋮ \\ μ_{n 1} \end{array}) = (\begin{array}{rcl} α_{11} t_{1} + \dots + α_{1 r} t_{r} \\ ⋮ \\ α_{n 1} t_{1} + \dots + α_{n r} t_{r} \end{array})

.

Daher ist für alle

i \in {1, \dots, n}

und für

j = 1

μ_{i j} = α_{i 1} t_{1} + \dots + α_{i r} t_{r} = \sum_{k = 1}^{r} α_{i k} t_{k}

.

Also kann man folgern, dass für alle

i \in {1, \dots, n}

und für

j = 1

λ_{i j} = \sum_{k = 1}^{r} α_{i k} t_{k} = μ_{i j}

ist.
Zusammen mit der Aussage, dass die beiden Matrizen vom gleichen Typ sind, folgt dass die Matrizen gleich sind. Damit hat man die behauptete Identität nachgewiesen.

\\\\
Wenn das nicht ausführlich genug sein sollte, weiß ich auch nicht weiter.

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