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Beweis einer Identität von sinh,cosh mit Cauchy

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Funktionenreihen

Tags: Beweis, Cauchy Produkt, Cosh, Folgen und Reihen, Funktionenreihen, Reihendarstellung, sinh

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13:07 Uhr, 03.01.2016

Hallo,
die Aufgabe ist folgendes mittels Cauchy Produkt und Reihendarstellung von

sinh

und

cosh

zu beweisen:

cosh (2 x) = {[cosh (x)]}^{2} + {[sinh (x)]}^{2}

Mit der Reihendarstellung:

cosh (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^{2 k}}{(2 k)!}

und

sinh (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!}

erhalt ich dann ja folgendes:

\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{(2 x)}^{2 k}}{(2 k)!} = {[\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^{2 k}}{(2 k)!}]}^{2} + {[\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!}]}^{2}

...nur komme ich da jetzt nicht so recht weiter, das Quadrat kann ich ja nicht so einfach auflösen oder?
Ich habe versucht einfach mal auf beiden Seiten die Wurzel zu ziehen und kam dann auf:

\sqrt{cosh (2 x)} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^{2 k}}{(2 k)!} + \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!}

\sqrt{cosh (2 x)} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^{2 k} (2 k + 1 + x)}{(2 k + 1)!}

Ich habe aber das Gefühl, dass das die falsche Richtung ist weil ich da auch wieder nicht weiterkomme.

Irgendwelche Tipps oder Ideen? :-D)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Roman-22

16:23 Uhr, 04.01.2016

Autsch!! Das schmerzt!
Zu deiner Information:

\sqrt{a^{2} + b^{2}} \neq a + b!!!!!!!!!

Ist dir gar nicht aufgefallen, dass du das Cauchy-Produkt verwenden solltest. Für das Produkt welcher Potenzreihen wohl? Vielleicht für das Produkt einer Potenzreihe mit sich selbst?

Den gesuchten Beweis findest du zB hier