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Beweis einer Untergruppe

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Tags: Beweis, Gruppe, Untergruppe

derguru aktiv_icon

17:57 Uhr, 14.11.2009

Hey,

ich habe meine kleinen Probleme mit dem Beweis einer Untergruppe.
Zeigen muss ich ja, dass

a)

Die UG nicht leer ist

b)

wenn a und

b

in der UG liegen dann auch deren Verknüpfung

c)

wenn

a

in der UG liegt dann auch das inverse von a

Die Aufgabe sieht folgendermaßen aus:

Sei

(G, \cdot)

eine Gruppe und die Teilmenge

Z (G)

gegeben durch

Z (G) := {a

€

G |

(für alle)b €

G : a \cdot b = b \cdot a}

Zeigen Sie, dass

Z (G)

eine UG von

G

ist.

Jetzt habe ich aber keine Ahnung wie ich das zeigen soll, hat jemand vielleicht einige ansätze für mich wie man das zeigen könnte

: (

Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

hagman aktiv_icon

18:04 Uhr, 14.11.2009

Den Teil a (nicht leer) löst man üblicherweise, indem man zeigt, dass

e \in U

gilt.
Gilt denn für alle

b \in G

stets

e \cdot b = b \cdot e

?

Zu

b)

ist zu zeigen:
Seien

a, b \in Z (G)

und

c \in G

beliebig. Dann gilt

(a \cdot b) \cdot c = c \cdot (a \cdot b)

.
Das ist aber klar, denn

(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) =

??? = ???

= (c \cdot a) \cdot b = c \cdot (a \cdot b)

(In der Mitte die Voraussetzung

b \in Z (G)

bzw.

a \in Z (G)

verwenden)

Zu

c)

beachte

a^{- 1} \cdot b = {(b^{- 1} \cdot a)}^{- 1}

und

b \cdot a^{- 1} = {(a \cdot b^{- 1})}^{- 1}

derguru aktiv_icon

18:29 Uhr, 14.11.2009

Danke für die fixe antwort :-)

a)

also das

e \cdot b = b \cdot e

ist muss ja gelten da das neutrale element ja nichts an

b

verändern darf. Kann ich dann einfach sagen, sei

e

€

G

und für alle

b

€

G

gilt

: e \cdot b = b \cdot e \Rightarrow e

€

Z (G) \Rightarrow Z (G)

ist nicht leer?

b)

Also die Vorraussetzung für

Z (G)

lautet ja

a \cdot b = b \cdot a

Kann ich dann einfach volgendermaßen umformen:

(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) = a \cdot (c \cdot b) = (a \cdot c) \cdot b = (c \cdot a) \cdot b = c \cdot (a \cdot b)

c)

Hier steh ich noch etwas auf dem schlauch

\frac{:}{}

derguru aktiv_icon

02:24 Uhr, 15.11.2009

komme immernoch nicht weiter

: (

hagman aktiv_icon

13:24 Uhr, 15.11.2009

a)

und

b) :

ja
Zu

c) :

a \in Z (G), b \in G

vorausgesetzt wird, gilt

b^{- 1} \cdot a = a \cdot b^{- 1},

mit meinem ersten Hinweis also

a^{- 1} \cdot b = b \cdot a^{- 1},

also

a^{- 1} \in Z (G)

derguru aktiv_icon

13:41 Uhr, 15.11.2009

Super, vielen Dank :-)

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