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Beweis für sum_(k=0)^n 2^k binomial(n, k) = 3^n

Universität / Fachhochschule

Tags: Beweis, Beweis durch vollständig Induktion, Binomialkoeffizient

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09:18 Uhr, 13.12.2019

Ich würde gerne Beweisen das

\sum_{k = 0}^{n} 2^{k} (\binom{n}{k}) = 3^{n}

.

Ich denke das sollte per vollständige Induktion möglich sein.
Das die Aussage für

n = 1

stimmt, ist denke ich offensichtlich.

Also müsste ich nur noch Beweisen das für

n > 1

auch

\sum_{k = 0}^{n} 2^{k} (\binom{n}{k}) = 3 \sum_{k = 0}^{n - 1} 2^{k} (\binom{n - 1}{k})

stimmt.
Das

(\binom{n - 1}{k}) + (\binom{n - 1}{k - 1}) = (\binom{n}{k})

sehe ich als gegeben an.

Mein Studium ist jetzt schon etwas her. Vielleicht könnt ihr mir ein paar Tipps geben wie ich hier am besten ran gehe.

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Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

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