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Beweis für Anzahl von Teilmengen einer Menge

Universität / Fachhochschule

Tags: Beweis, Mengenlehre, Potenzmenge, Teilmengen

Roxonism aktiv_icon

10:20 Uhr, 13.02.2016

Hallo zusammen,
heute möchte ich beweisen, dass die Potenzmenge einer n-elementigen Menge genau

2^{n}

Elemente besitzt.

Ich habe einen Beweis erarbeitet, bin mir aber unsicher, ob dieser Beweis korrekt ist. Des weiteren bin ich mir über die Formulierung des Beweises unsicher und würde mich über konstruktive Kritik und bei Unkorrektheit des Beweises über einen Tipp freuen :-)

Nun zu meinem Beweis:

M_{n} = {\emptyset, e_{2}, e_{3}, . . ., e_{n - 1}, e_{n}} : n \in ℕ

\emptyset = e_{1}

P (M_{n}) = {\emptyset, {T_{2}}, {T_{3}}, . . ., {T_{n - 1}}, {T_{n}}} : n \in ℕ, T \subset M_{n}

Annahme:

P (M_{n})

beinhaltet

2^{n}

Elemente.

n=1

M_{1} = {\emptyset, 1}

P (M_{1}) = {{\emptyset}, {1}}

P (M_{1})

enthält 2 Elemente, was

2^{1}

entspricht.

n \mapsto n + 1

M_{n} ⋃ {e_{n + 1}} = M_{n + 1} = {\emptyset, e_{2}, e_{3}, . . ., e_{n - 1}, e_{n}, e_{n + 1}}

P (M_{n + 1}) = {\emptyset, {T_{2}}, {T_{3}}, . . ., {T_{n - 1}}, {T_{n}}, {e_{n + 1}},

{{{T_{1}} ⋃ {e_{n + 1}}}, {{T_{2}} ⋃ {e_{n + 1}}}, . . ., {{T_{n - 1}} ⋃ {e_{n + 1}}}, {{T_{n}} ⋃ {e_{n + 1}}}}

P (M_{n + 1})

enthält alle

2^{n}

Elemente von

P (M_{n})

und zusätzlich zu jeder Teilmenge

T_{n}

, außer der leeren Menge, eine weitere Teilmenge, die aus der Vereinigung der jeweiligen Teilmenge

T_{n}

mit der Menge

{e_{n + 1}}

entsteht.
Dadurch kommen zu den

2^{n}

Elementen von

P (M_{n})

weitere

2^{n} - 1

Elemente zu

P (M_{n + 1})

hinzu.
Des weiteren enthält

P (M_{n + 1})

die Teilmenge

{e_{n + 1}}

, wodurch noch einmal 1 Element im Vergleich zu

P (M_{n})

hinzukommt.

Somit kommen enthält

P (M_{n + 1})

also

2^{n} + 2^{n} - 1 + 1

Elemente. Dies entspricht

2 * 2^{n} = 2^{n + 1}

Elementen. Somit ist die Aussage bewiesen, denke ich zumindest ;-)

Gruß Roxonism

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