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Beweis für Assoziativgesetz Matrizenmultiplikation
Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe
Tags: Beweis, Matrizenmultiplikation, Matrizenrechnung
 
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Hallo, Im Rahmen meiner Facharbeit suche ich einen Beweis für das Assoziativgesetz der Matrizenmultiplikation, also (AB)C=A(BC).
Das ist mein Ansatz bist jetzt:
Ich bin mir nicht ganz sicher, aber ich denke, dass müsste so stimmen, allerdings komme ich nicht weiter. Welcher Schritt kommt als nächstes? Der Beweis sollte so ausfürhlich sein, dass ihn auch ein Gynasiast in der 13. verstehen kann. Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Gruß
Andreas
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Hallo, ich werds mal versuchen. Zunächst muss ich anmerken, dass ich aufgrund meiner lahmen Internetverbindung nur im Textmodus antworten kann. Am besten schreibst du dir meinen Post einfach nochmal auf ein Blatt Papier damit es übersichtlicher wird. Deshalb erklär ich kurz was welche Klammern bei mir bedeuten: [] Grenzen bei den Summen z.B. Summe [von g=1 bis n] {} Indizes bzw. kleine nach untengesetzte Buchstaben z.B. a{i,j} () ganz normale Klammern Ich betrachte zur Vereinfachung nur den Fall, wenn A,B,C alles n x n -Matrizen sind, dies kann ich tun, denn man kann jede Matrix beliebig vergrößern, indem man Zeilen und oder Spalten in denen nur Nullen stehen ergänzt. ich nehme zusätzlich noch 4 weitere Matrizen W,X,Y,Z dazu, diese werde ich benötigen um Zwischenergebnisse darzustellen. (AB) = Summe [von j=1 bis n] (a{i,j}b{j,k}) = w{i,k} (AB)C = Summe [von k=1 bis n] (w{i,k}c{k,l} = Summe [von k=1 bis n] (Summe [von j=1 bis n] (a{i,j}b{j,k}) c{k,l}) = Summe [von k=1 bis n] Summe [von j=1 bis n] (a{i,j}b{j,k}c{k,l}) = x{i,l} Das Reinziehen c{k,l} in die Summe ist völlig in Ordnung, da c{k,l} gar nicht von j abhängig ist und somit eher wie ein Faktor zu behandeln ist, den man ausklammern kann oder wie diesem Fall die Ausklammerung rückgängig machen kann. (BC) = Summe [von k=1 bis n] (b{j,k}c{k,l}) = y{j,l} A(BC) = Summe [von j=1 bis n] (a{i,j}y{j,l}) = Summe [von j=1 bis n] (a{i,j} Summe [von k=1 bis n] (b{j,k}c{k,l})) = Summe [von j=1 bis n] Summe [von k=1 bis n] (a{i,j}b{j,k}c{k,l}) = z{i,l} So nun muss man eigentlich nur zeigen, dass x{i,l} = z{i,l} bzw. x{i,l} = Summe [von k=1 bis n] Summe [von j=1 bis n] (a{i,j}b{j,k}c{k,l}) = Summe [von j=1 bis n] Summe [von k=1 bis n] (a{i,j}b{j,k}c{k,l}) = z{i,l} Der einzige Unterschied liegt nun in der Reihenfolge der Summen. Man darf die Summen einfach vertauschen, da gibt es eine Rechenregel für, ich weiß nur nicht ob ihr das in der Schule durchgenommen habt (ich glaube eher nicht), du kannst nun also sagen man darf die Summen einfach tauschen (weil diese Rechenregel nichts mit Matrizen an sich zu tun hat) oder du kannst dir die Mühe machen dies mit Induktion über n zu beweisen. Ich hoffe dass ich dir helfen konnte. grüssle steinedieb |
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| Vielen Dank, die Antwort ist perfekt, ich habe alles verstanden. Die Frage ist damit beantwortet. |
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