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Beweis für Betragsgleichung

Universität / Fachhochschule

Tags: Betrag, Beweis

 
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anonymous

anonymous

16:48 Uhr, 13.10.2012

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Hallo zusammen.

Die folgende Problemstellung ist zwar elementar, aber mir als Ungeübten sind Beweisführungen einfach noch ziemlich neu, so dass ich mir bei der Ausformulierung einfach noch unsicher bin.
Die Aufgabe ist zu beweisen, dass für ∀x∈ℝ gilt: ±x≤∣x∣

Wie den meisten bekannt ist, definiert sich der Betrag einer Zahl x wie folgt definiert:
x∈ℝ, ∣x∣={x:x≥0-x:x<0

Nun dachte ich mir, beweise ich erst einmal die Behauptung (1a) +x≤∣x∣.
Beweis (mittels Fallunterscheidung):
1. Fall: x≥0:∣x∣=x
2. Fall: x<0:∣x∣=-x
Es gilt x<0 und 0<∣x∣⇒x<0<∣x∣⇒x<∣x∣
In beiden Fällen gilt also +x≤∣x∣.

Behauptung (1b) -x≤∣x∣.
Beweis:
1. Fall: x≥0:∣x∣=x
2. Fall: x<0:∣x∣=-x
In Fall 1 gilt x≥0⇔-x≤0 . Es gilt nun -x≤0 und wiederum 0<∣x∣ ⇒ -x≤0<∣x∣ ⇒ -x<∣x∣
In beiden Fällen gilt also wieder die Behauptung -x≤∣x∣.

(1a) und (1b) zeigen, dass die Aussage ±x≤∣x∣ stimmt. q.e.d.



Ich bin mir zwar recht sicher, dass der Beweis an sich stimmt, aber wich wollte erfragen, ob es irgendwo grobe Schnitzer hinsichtlich der Form oder der Art und Weise der Beweisführung gibt und ob man gewisse Passagen auch einfacher hätte beschreiben können?

Freundliche Grüße und vorab schon danke für Ratschläge.

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