Beweis für Kommutativgesetz in Ganzen Zahlen

Hallo mal wieder!

So ich hab ein Problemchen mit folgender Aufgabe:

"Beweisen Sie das Kommutativgesetz der Multiplikation in Z(mit einer Tilde drüber): Für alle a, b ${\displaystyle \in }$ Z(mit Tilde drüber) gilt a*b=b*a .

Ich habe dazu auch schon eine Idee...

In der Vorlesung wurde das Z als Erweiterung der natürlich Zahlen wie folgt definiert: Z(mit Tilde):={[(m,n)]|m,n${\displaystyle \in }$ N}

mit der Addition: (m,n)+(k,l)=(m+k,n+l)

und der Multiplikation: (m,n)*(k,l)=(m*k+n*l,m*l+n*k)

Ich will also zeigen das: (m,n)*(k,l)=(k,l)*(m,n)

Wenn ich mir jetzt ein Paar (m,n) und (k,l) auswähle und diese miteinander multipliziere, dann erhalte ich ja die oben stehende ganze Zahl (m,n)*(k,l)=(m*k+n*l,m*l+n*k).

Hierbei gilt aber laut Definition der ganzen zahlen, das sowohl m,n,k und l, als auch "m*k+n*l" und "m*l+n*k" natürliche Zahlen sein müssen. Für diese wurde aber beeits das Kommutativgesetz sowohl für Addition als auch für die Multiplikation bewiesen, also kann ich innerhalb der Elemente umformen wie folgt:

m*k+n*l=k*m+l*n und m*l+n*k=k*n+l*m

also (m,n)*(k,l)=(k*m+l*n,k*n+l*m)

Wenn man darauf nun wiederum die definierte Multiplikation rückwärts anwendet, erhält man (k,l)*(m*n) , womit die Behauptung bewiesen sein sollte.....

So blöd es auch klingt, ich habe irgednwie die Befürchtung ich hab irgendwo was falsch gemacht^^, denn das ganze erscheint mir etwas zu kurz und zu simpel im Vergleich zu den übrigen Aufgaben...

Also meine 2 Fragen dazu: Ist das ganz Konstrukt überhaupt korrekt und darf ich mich so einfach auf die natürlich Zahlen stützen und auch die jeweiligen Gesetz in diesem Zahlenbereich für meinen Beweis benutzen?

Vielen Dank schonmal im Vorraus fürs lesen!

m.f.G.

Michael