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Beweis für einfache Betragsungleichung

Universität / Fachhochschule

Tags: Betrag, Beweis, Ungleichung

anonymous

16:24 Uhr, 17.10.2011

Hallo ihr Lieben,

ich hab da ne Ungleichung, die ich beweisen soll:

$\frac{| x + y |}{1 + | x + y |} \leq \frac{| x |}{1 + | x |} + \frac{| y |}{1 + | y |}$

Kann mir da jemand behilflich sein? Es fühlt sich nicht schwer an, aber ich komme nicht drauf =(

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

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Bummerang

17:13 Uhr, 17.10.2011

Hallo,

Dreiecksungleichung:

| x + y | \leq | x | + | y | | + | x + y | \cdot (| x | + | y |)

| x + y | + | x + y | \cdot (| x | + | y |) \leq | x | + | y | + | x + y | \cdot (| x | + | y |)

| x + y | \cdot (1 + | x | + | y |) \leq (1 + | x + y |) \cdot (| x | + | y |); (1 + ...) \geq 1 > 0 \Rightarrow

es darf dividiert werden

\frac{| x + y |}{1 + | x + y |} \leq \frac{| x | + | y |}{1 + | x | + | y |}

Weiterhin gilt:

0 \leq 2 \cdot | x | \cdot | y | + {| x |}^{2} \cdot | y | + | x | \cdot {| y |}^{2} | + | x | + | y | + | x |^2 + | y |^2 + 2 \cdot | x | \cdot | y | + | x |^2 \cdot | y | + | x | \cdot | y |^{2}

| x | + | y | + {| x |}^{2} + {| y |}^{2} + 2 \cdot | x | \cdot | y | + {| x |}^{2} \cdot | y | + | x | \cdot {| y |}^{2} \leq | x | + | y | + {| x |}^{2} + {| y |}^{2} + 4 \cdot | x | \cdot | y | + 2 \cdot {| x |}^{2} \cdot | y | + 2 \cdot | x | \cdot {| y |}^{2}

(| x | + | y |) + {(| x | + | y |)}^{2} + (| x | + | y |) \cdot | x | \cdot | y |

\leq (| x | + {| x |}^{2} + | x | \cdot | y |) + (| x | \cdot | y | + {| x |}^{2} \cdot | y | + | x | \cdot {| y |}^{2}) + (| y | + | x | \cdot | y | + {| y |}^{2}) + (| x | \cdot | y | + {| x |}^{2} \cdot | y | + | x | \cdot {| y |}^{2})

(| x | + | y |) \cdot (1 + | x | + | y | + | x | \cdot | y |) \leq | x | \cdot (1 + | x | + | y |) + | x | \cdot | y | \cdot (1 + | x | + | y |) + | y | \cdot (1 + | x | + | y |) + | x | \cdot | y | \cdot (1 + | x | + | y |)

(| x | + | y |) \cdot (1 + | x |) \cdot (1 + | y |) \leq (| x | + | x | \cdot | y |) \cdot (1 + | x | + | y |) + (| y | + | x | \cdot | y |) \cdot (1 + | x | + | y |)

(| x | + | y |) \cdot (1 + | x |) \cdot (1 + | y |) \leq | x | \cdot (1 + | y |) \cdot (1 + | x | + | y |) + | y | \cdot (1 + | x |) \cdot (1 + | x | + | y |); (1 + ...) \geq 1 > 0 \Rightarrow

es darf dividiert werden

\frac{(| x | + | y |) \cdot (1 + | x |) \cdot (1 + | y |)}{(1 + | x | + | y |) \cdot (1 + | x |) \cdot (1 + | y |)} \leq \frac{| x | \cdot (1 + | y |) \cdot (1 + | x | + | y |)}{(1 + | x | + | y |) \cdot (1 + | x |) \cdot (1 + | y |)} + \frac{| y | \cdot (1 + | x |) \cdot (1 + | x | + | y |)}{(1 + | x | + | y |) \cdot (1 + | x |) \cdot (1 + | y |)}

\frac{| x | + | y |}{1 + | x | + | y |} \leq \frac{| x |}{1 + | x |} + \frac{| y |}{1 + | y |}

Wegen der Transitivität der Relation ergibt sich aus:

\frac{| x + y |}{1 + | x + y |} \leq \frac{| x | + | y |}{1 + | x | + | y |}

UND

\frac{| x | + | y |}{1 + | x | + | y |} \leq \frac{| x |}{1 + | x |} + \frac{| y |}{1 + | y |}

\frac{| x + y |}{1 + | x + y |} \leq \frac{| x |}{1 + | x |} + \frac{| y |}{1 + | y |}

anonymous

17:42 Uhr, 17.10.2011

Während mir der erste Teil noch anmutig und einleuchtend scheint, kann ich alles was nach "weiterhin" steht nur nachvollziehen. Wie man allerdings diesen auf diesen Ansatz kommt, liegt mir sehr fern.

Mir bleibt also nur den Hut zu ziehen, und mich zu bedanken.

gruß

Bummerang

12:50 Uhr, 18.10.2011

Hallo,

"Wie man allerdings diesen auf diesen Ansatz kommt, liegt mir sehr fern."

Wie man drauf kommt, weiß ich nicht! Wie ich drauf gekommen bin, ist einfach erklärt: Ich sehe, dass ich einerseits "|

x + y

|" und andererseits

| x |

und

| y |

habe, die, wenn man die Ausgangsungleichung umstellen will, immer wieder zu gemischten Formen führen, die störend sind, die man aber nach oben abschätzen kann mittels der Dreiecksungleichung. Das bringt mich auf die Idee, es vielleicht gleich mit einem Zwischenterm zu probieren, der beide Elemente in Zähler und Nenner enthält,

d . h

. auf der einen Seite wie vorgegeben

| x + y |

und auf der anderen Seite

| x | + | y |

. Zwischen diesen beiden habe ich zumindest eine bekannte Relation zur Abschätzung zur Verfügung. Dann nehme ich die beiden zu beweisenden Ungleichungen und forme sie um und ich komme am Ende auf eine Relation, von der ich weiß, das sie richtig ist. Will man seinen Beweis so führen, muß man minimal erwähnen, dass alle Umformungen Äquivalenzumformungen waren. Da sollte man sich dann auch sicher sein, dass das stimmt! Ich bevorzuge es deshalb die auf Schmierpapier gemachten Umformungen in der abgabefähigen Lösung in umgekehrter Reihenfolge auszuführen und die Schritte auch nochmals einzeln durchzurechnen. Sollte eine Umformung nicht äquivalent gewesen sein, fällt es mir hier spätestens auf. Waren alle Umformungen äquivalent, dann habe ich bereits einen direkten Beweis, ohne noch auf die Äquivalenz der Umformungen hinweisen zu müssen. Das sieht dann natürlich so aus, als ob man einen tierisch aufwändigen Ansatz einfach so aus dem Ärmel geschüttelt hätte, das macht Eindruck bei Nicht- und Wenig-Mathematikern, ist aber mit etwas Hintergrundwissen nur mit Wasser gekocht...

PS: Weiß jemand, wieso die Betragsterme hier im Text zunächst nicht angezeigt wurden, obwohl sie in den Ungleichungen im vorhergehenden Post angezeigt wurden? Und warum plötzlich alle Betragsterme im Text angezeigt werden, wenn man den ersten in Hochkommas setzt, aber nur, wenn man noch zwischen den Betragszeichen und

x

bzw.

y

ein Leerzeichen einfügt? Ohne Leerzeichen werden nur das

x

und das

y

ohne das Pluszeichen angezeigt und die anderen Betragsterme sind auch nicht zu sehen. Interessantes Spielzeug, aber alles in allem ein seltsames Verhalten...

anonymous

01:49 Uhr, 21.10.2011

Nochmals vielen Dank für die Hilfe und ausführliche Erklärung!

Gruß

Sahin

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