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Beweis für lim(n-->unendlich) ((n^k)*(q^n))=0

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Tags: Folgen und Reihen, Grenzwert, Komplexe Analysis, Komplexe Zahlen

wrath-of-math aktiv_icon

13:29 Uhr, 10.11.2015

Hallo,
ich bin gerade in der 4. Woche meines Physik Studiums und ich wie auch viele weitere verzweifeln an Mathe für Physiker. Das hier ist meine erste Frage überhaupt in einem Forum, sprich bin blutiger Anfänger hier.
Meine Aufgabe lautet: "Man zeige für k€N und q€C mit

| q | < 1

gilt lim(n-->unendlich) ((n^k)*(q^n))=0."
Ich komme einfach nicht weiter und treibt meine Lerngruppe und mich noch in den Suizid. (Kleiner Spaß)
Aber man sitzt stundenlang an einer Aufgabe und kommt kein Stück weiter und die Abgabe rückt auch immer näher. Ihr kennt das ja.
Mein bisheriger Ansatz ist, dass man annimmt dass die Folge (ist doch eine Folge oder) gegen 0 konvergiert.
Das will ich mit Epsilon (man wie ich das hasse) beweisen. Also sei Epsilon

> 0

(beliebig aber fest gewählt)
Dann rechnet man mit dem Ansatz |an-a|<Epsilon. Daraus folgt

| n^{k} \cdot q^{n} | < ε

.
Ich wäre euch für jeden Rat Tipp sehr dankbar :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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DrBoogie aktiv_icon

14:46 Uhr, 10.11.2015

Wenn

a_{n} = n^{k} q^{n}

, dann hast Du

\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = (1 + \frac{1}{n})^{k} \cdot q

.
Wenn Du zeigen kannst, dass

(1 + \frac{1}{n})^{k} \to 1

, dann ist damit

∣ \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} ∣ \leq q_{1} < 1

ab einem bestimmten

n_{0}

mit einem passenden

q_{1}

. Damit wäre

∣ a_{n} ∣ \leq q_{1}^{n - n_{0} + 1} ∣ a_{n_{0}} ∣ \to 0

wrath-of-math aktiv_icon

17:34 Uhr, 10.11.2015

Danke schonmal für deine Atwort, denn ich verstehe sie :-)
Du benutzt das Quotientenkriterium als Ansatz. Nur wie zeige ich denn jetzt mathematisch, dass