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Beweis für n^2 <= 2^n

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Algebra, Beweis

anonymous

23:23 Uhr, 02.11.2008

Hi, ich habe hier eine Aufgabe:

Beweisen Sie für jedes

n

Element von

ℕ

ohne

{3}

folgende Ungleichung:

n^{2} \leq 2^{n}

Ich weiß leider nicht wie ich das formal richtig aufschreibe. Vielen Dank für Eure Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Rentnerin

23:47 Uhr, 02.11.2008

Hallo loggxx,

ich würde es so versuchen:

n=1:

1^{2} = 1 < 2 = 2^{1}

n=2:

2^{2} = 4 = 2^{2}

Für

n > 3

führst Du den Beweis mit vollständiger Induktion.

Dazu eine Behauptung als "Vorspann"
Für

n > 3

gilt

2 + \frac{1}{n} < 3 < n

, also

2 + \frac{1}{n} < n

Dieses Ergebnis, das evident ist und sicher nicht großartig zu beweisen ist, wird nun verwendet.

Induktionsanfang:

n = 4

4^{2} = 16 \leq 16 = 2^{4}

Induktionsschritt:

n \to n + 1

(

n \geq 4

)
Es ist unter der Annahme

n^{2} \leq 2^{n}

zu zeigen:

(n + 1)^{2} \leq 2^{n + 1}

Nachweis:

(n + 1)^{2} = n^{2} + 2 \cdot n + 1 = n^{2} + n \cdot (2 + \frac{1}{n}) < n^{2} + n \cdot n = n^{2} + n^{2} \leq 2^{n} + 2^{n} = 2 \cdot 2^{n} = 2^{n + 1}

.

Gruß Rentnerin

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