Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Beweis in Körper (K,+,*)

Beweis in Körper (K,+,*)

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: Beweis, Körper

Ennole aktiv_icon

22:55 Uhr, 03.07.2022

Guten Abend zusammen,

ich hänge aktuell an der Folgenden Aufgabe:

Sei

(K, +,

·) ein Körper und

F := {f : K

→

K}

die Menge aller Abbildungen von

K

→ K.
Mit der Addition:

f

⊕

g : K

→

K, x

→

f (x) + g (x)

Und der Multiplikation:

f

⊗

g : K

→

K, x

→

f (x)

g (x)

Zu zeigen ist, dass

(F,

⊕, ⊗) nicht notwendigerweise ein Körper sein muss. Mir fehlt leider jeder Ansatz hier.

Das einzige was mir einfällt:
Eine der Eigenschaften, dass ein Körper vorliegt muss verletzt sein, damit es kein Körper ist.

Vielen Dank schonmal :-)

E \cap o

(er denkt immer mein Name ist eine Formel^^)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

michaL aktiv_icon

23:40 Uhr, 03.07.2022

Hallo,

betrachte doch mal die beiden Abbildungen

f : {\begin{array}{rcl} K & \to & K \\ x & \mapsto & {\begin{aligned} 1, & x = 0 \\ 0, & sonst \end{aligned} \end{array}

und

g : {\begin{array}{rcl} K & \to & K \\ x & \mapsto & {\begin{aligned} 1, & x = 1 \\ 0, & sonst \end{aligned} \end{array}

Was sagt es darüber aus, dass

f (x) \cdot g (x) = 0

für alle

x

gilt, aber weder

f (x) \equiv 0

noch

g (x) \equiv 0

?
(Stichwort: NUllteiler)

Mfg Michael

Ennole aktiv_icon

00:22 Uhr, 04.07.2022

Hey,

erstmal Danke für deine Antwort auf meine Frage vor 6 Monaten! :-D) Hab da nicht mehr geantwortet.

Also ein Körper muss nullteilerfrei sein, damit es ein Körper ist.
Die Multiplikation der Funktion von dir ist aber 0 für alle

x \in F

. Somit ist diese Eigenschaft nicht erfüllt.

Würde man das so schreiben:

\forall x, y \in K / 0 : f (x) \cdot f (y) = 0

?

"weder

f (x) \equiv 0

noch

g (x) \equiv

0" was du damit meinst verstehe ich leider nicht.

Danke dir für deine späte Antwort!

Grüße Ennô

Kartoffelchipsman aktiv_icon

01:25 Uhr, 04.07.2022

Die Existenz von multiplikativen Inversen ist nicht gegeben.

Seien

0_{F},

definiert durch

0_{F} (x) := 0_{K}

für alle

x \in K,

1_{F},

definiert durch

1_{F} (x) := 1_{K}

für alle

x \in K,

die neutralen Elemente der Addition bzw. Multiplikation in

F

.

Für eine Funktion

g \in F

mit

g \neq 0_{F}

und einer Nullstelle

x_{1} \in K

(also

g (x_{1}) = 0_{K})

gibt es nun kein

f \in F,

sodass

g ⊙ f = 1_{F},

denn

(g ⊙ f) (x_{1}) = 0_{K} \neq 1_{K}

für jedes

f \in F

Ennole aktiv_icon

18:23 Uhr, 04.07.2022

Servus Gilbert,

danke auch dir schonmal.
Ich verstehe den Widerspruch in der Argumentation noch nicht:
Warum ist "

(g ⊙ f) (x 1) = 0 K \neq 1 K

für jedes

f \in

F"?

Könntest du es nochmal erklären bitte :-)

gruß ENno

michaL aktiv_icon

19:26 Uhr, 04.07.2022

Hallo,

hänge dich doch bitte rein!
Die Idee ist die gleiche wie meine: In einem Körper

(F, \oplus, ⊙)

ist die multiplikative Gruppe

(F \ {0}, ⊙)

nullteilerfrei.

Die von mir definierten Funktionen

f

und

g

sind beide Elemente von

F

(nachprüfen!).
Beide Elemente sind nicht nicht die Null. Und da muss man mal darüber nachdenken.
Die Elemente von

F

sind Abbildungen. Was heißt, dass eine Abbildung

f : K \to K

Null ist? (In Zeichen gerne auch mal

f \equiv 0

)
Heißt, die Abbildung bildet alle Elemente(!) auf 0 ab. (Identisch auf Null, vielleicht mal in der Vorlesung erwähnt?)

Nun, keine beiden Abbildungen ist die Nullabbildung, da

f (0) = 1 \neq 0

und

g (1) = 1 \neq 0

gilt. (In einem Körper gilt

1 \neq 0

, wie man weiß!)

Damit habe ich zwei Elemente von

F

gefunden, für die

f ⊙ g \equiv 0

gilt, d.h. es gilt

f (x) \cdot g (x) = 0 \forall x \in K

.

Das Produkt ist immer Null! Aber: Keiner der Faktoren ist gleich Null.

f

und

g

sind also Nullteiler, und damit

F

kein Körper.

Mfg Michael

Ennole aktiv_icon

13:47 Uhr, 05.07.2022

Hallo,

schwere Geburt aber habs verstanden.

Danke und Grüße!

1558508

1558467

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?