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Beweis mit Prinzip des unendlichen Abstiegs

Universität / Fachhochschule

Tags: Beweis, Gleichung., Gleichungen, Prinzip des unendlichen Abstiegs, trivial

anonymous

03:29 Uhr, 23.06.2019

Eine freiwillige Zusatzaufgabe auf meinem Übungsblatt lautet: Beweisen Sie mit dem Prinzip des unendlichen Abstiegs: Die Gleichung x³+2y³+4z³=0 besitzt keine nicht-triviale Lösung

(x, y, z)

Element N³ (also

x, y, z

ungleich

0)

Das Prinzip des unendlichen Abstiegs kenne ich nicht und was ich mir bisher ergoogelt habe, habe ich auch leider nicht verstanden. Ich würde die Aufgabe, auch wenn sie vermutlich nicht klausurrelevant sein wird, dennoch gerne verstehen. Über Lösungen und Lösungsansätze, gerne mit Erklärung, würde ich mich also sehr freuen :-).

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

michaL aktiv_icon

07:29 Uhr, 23.06.2019

Hallo,

eher ein einfacher Vertreter...

Sei also

(x, y, z) \in ℕ^{3}

eine nicht triviale Lösung für

x^{3} + 2 y^{3} + 4 z^{3} = 0

(*).

Wegen

x^{3} = 2 ((- y)^{3} + 2 (- z)^{3})

gilt

2 ∣ x^{3}

und damit

2 ∣ x

, etwa

x = 2 p

mit

p \in ℕ

.

Damit haben wir

2 y^{3} = - 8 p^{3} - 4 z^{3} \overset{}{\Leftrightarrow} y^{3} = - 4 p^{3} - 2 z^{3}

, woraus mit gleichem Argument

y = 2 q

für ein

q \in ℕ

folgt.

Daraus schließlich folgt

4 z^{3} = - 8 p^{3} - 16 q^{3} \overset{}{\Leftrightarrow} z^{3} = - 2 p^{3} - 4 q^{2}

, was analog

z = 2 r

für ein

r \in ℕ

nach sich zieht.

Damit ist also auch

(p, q, r) = (\frac{x}{2}, \frac{y}{2}, \frac{z}{2})

eine Lösung von (*).

Damit ist der unendliche Abstieg geschlossen. Ich hoffe, ab hier gibt es keine Fragen mehr dazu.

Übrigens hätte man nach

x = 2 p

auch wie folgt schließen können:
Ist

(x, y, z)

eine Lösung von (*) in

ℕ^{3}

, so offenbar auch

(y, z, \frac{x}{2})

und nach diesem Argument dann eben auch

(z, \frac{x}{2}, \frac{y}{2})

und

(\frac{x}{2}, \frac{y}{2}, \frac{z}{2})

. Von hier ab wie oben.

Mfg Michael

HAL9000

07:44 Uhr, 23.06.2019

Man kann den Beweis alternativ auch ohne "unendlichen Abstieg" formulieren:

Angenommen, es gibt eine nichttriviale Lösung

(x_{0}, y_{0}, z_{0})

dieser Gleichung. Sei

g = ggT (x_{0}, y_{0}, z_{0}) \geq 1

sowie darauf aufbauend

x_{0} = g x_{1}, y_{0} = g y_{1}, z_{0} = g z_{1}

, dann ist auch

(x_{1}, y_{1}, z_{1})

eine Lösung dieser Gleichung, diesmal aber mit teilerfremden Komponenten.

Mit der von michaL vorgestellten Schlussweise bekommt man nacheinander

2 ∣ x_{1}, 2 ∣ y_{1}, 2 ∣ z_{1}

, womit wir einen Widerspruch zur Teilerfremdheit bekommen haben.

Ein solches Vorgehen ist analog dem beim Irrationalitätsbeweis von

\sqrt{2}

, wo man gewöhnlich

\sqrt{2} = \frac{p}{q}

mit teilerfremden

p, q

ansetzt und das zum Widerspruch führt.

anonymous

08:54 Uhr, 23.06.2019

Zwischenfrage zur Klarstellung:
Du schreibst
"(x,y,z) Element

N^{3}

"

Das hätte doch bestimmt heissen wollen, dass

x, y

und

z

Element der ganzen Zahlen

(ℤ^{3})

seien.

Denn für die natürlichen Zahlen ist der Gedankengang doch ohnehin einfachst.
Wenn ich einer der Variablen einen positiven Wert zuweise, dann wird das stets ein positiver Summand, der mit positiven Summanden nicht zu Null augeglichen werden kann.

michaL aktiv_icon

10:03 Uhr, 23.06.2019

Hallo,

> Das hätte doch bestimmt heissen wollen, dass
>

x

y

und

z

Element der ganzen Zahlen (

ℤ^{3}

) seien.

Hatte ich zuerst auch gedacht. Dann kann man aber nicht (ohne weiteres) mit der Methode des kleinsten Abstiegs kommen, da Teilmengen von

ℤ

nicht nach unten beschränkt sein müssen (anders als Teilmengen von

ℕ

).

> Denn für die natürlichen Zahlen ist der Gedankengang doch ohnehin einfachst.
> Wenn ich einer der Variablen einen positiven Wert zuweise, dann wird das stets ein
> positiver Summand, der mit positiven Summanden nicht zu Null augeglichen werden kann.

Spielt letztlich auch keine Rolle, wenn die Methode explizit verwendet werden soll. :-/

Mfg Michael

anonymous

17:40 Uhr, 23.06.2019

N³ ist schon richtig. Die Aufgabe gibt auch nur einen Punkt und ich denke, die einzige "Herausforderung" für uns soll es sein, überhaupt mal eine Aufgabe mit dem Prinzip des unendlichen Abstiegs gelöst zu haben. Ich studiere "nur" Grundschullehramt und in diesem Modul sind daher keine wirklich anspruchsvollen Aufgaben zu lösen, nur bin ich in Sachen Hochschulmathematik nicht fit, sodass dann auch solche Aufgaben erstmal eine kleine Hürde für mich sind.

²michaL: Danke für deine ausführliche Lösung. Ich habe aber noch eine Verständnisfrage: warum ist das Ganze denn abgeschlossen, wenn man raus hat, das

\frac{x}{2}, \frac{y}{2}

und

\frac{z}{2}

auch eine Lösung ist? Warum zeigt mir das, das es keine Lösungen für die Gleichung gibt?

michaL aktiv_icon

20:46 Uhr, 23.06.2019

Hallo,

warum hakst du die Aufgabe ab, wenn du doch noch Fragen hast?

> Das Prinzip des unendlichen Abstiegs kenne ich nicht und was ich mir bisher ergoogelt habe, habe ich auch
> leider nicht verstanden.

Das muss doch in der Vorlesung dran gewesen sein?! Wie soll man solche Aufgaben sonst lösen können?
Bitte informiere dich darüber.

Etwa wikipedia:
"Das Prinzip des unendlichen Abstiegs ist ein spezielles mathematisches Beweisverfahren, das auf dem Prinzip des Widerspruchsbeweises basiert. Hierbei wird ausgenutzt, dass es in der Menge der natürlichen Zahlen keine unendliche Folge kleiner werdender Zahlen geben kann, was gleichbedeutend dazu ist, dass jede nichtleere Menge natürlicher Zahlen ein kleinstes Element besitzt."

Wenn es nun eine nicht triviale Lösung deiner Gleichung

(x, y, z) \in ℕ^{3}

gäbe, dann wäre offenbar (wenn du meinen Ausführungen folgen konntest) auch

(\frac{x}{2}, \frac{y}{2}, \frac{z}{2}) \in ℕ^{3}

eine Lösung.
Verstehe die Doppelaussage richtig:
1.

(\frac{x}{2}, \frac{y}{2}, \frac{z}{2}) \in ℕ^{3}

(\frac{x}{2}, \frac{y}{2}, \frac{z}{2})

Lösung der Gleichung.

Dann wären doch aber auch

(\frac{x}{4}, \frac{y}{4}, \frac{z}{4}) \in ℕ^{3}

(\frac{x}{8}, \frac{y}{8}, \frac{z}{8}) \in ℕ^{3}

(\frac{x}{16}, \frac{y}{16}, \frac{z}{16}) \in ℕ^{3}

\dots

Lösungen der Gleichung (immer das gleiche Argument).
Nun betrachte die Menge

M

der ersten Komponenten der Lösungsvektoren:

M := {x, \frac{x}{2}, \frac{x}{4}, \frac{x}{8}, \frac{x}{16}, \dots} \subseteq ℕ

Wie viele Elemente hat

M

?
Und kann das gehen?

Mfg Michael

anonymous

23:53 Uhr, 23.06.2019

Hey, also in der Vorlesung gab es das am Beispiel der Wurzel von

2,

also ein Beweis, das die Zahl irrational ist. Ich muss arbeiten gehen zu dem Zeitpunkt, wo die Vorlesung ist und das Skript hat mir überhaupt nicht geholfen. Normalerweise finde ich zu jedem Thema immer gute (bzw. leicht verständliche) Materialien, aber hier nicht. Mir fällts am einfachsten, etwas zu verstehen, wenn ich von mehreren Aufgaben die Musterlösungen gesehen habe. Ich schau mir das gleich noch mal an und hoffe, das ich es dann jetzt richtig verstehe :-).

anonymous

04:18 Uhr, 24.06.2019

Ich habe mir das Ganze jetzt nochmal in "eigenen Worten" aufgeschrieben und denke, das ich es - zumindest für genau diesen Aufgabentyp - verstanden habe und auch selbstständig anwenden kann. Vielen Dank nochmal für die Hilfe :-).

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