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Beweis mit dem Zwischenwertsatz

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Beweis, Stetigkeit, Zwischenwertsatz

 
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RandomDude

RandomDude aktiv_icon

20:08 Uhr, 02.12.2019

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Hallo,

ich sitze gerade an einem Beweis ud bräuchte bei meinem Ansatz etwas an Unterstützung.

Und zwar lautet die Aufgabe:

Sei f:[a,b][a,b] stetig. Zeigen Sie, dass es mindestens ein x[a,b] gibt, für das gilt f(x)=x

Hierbei hatte ich vor mit dem Zwischenwertsatz zu argumentieren und zwar muss für f(x)=x gelten:

f(x)-x=0. Dies nehme ich als eine neue Funktion: g(x)=f(x)-x.

Und nun wollte ich eine Fallunterscheidung machen mit:

Fall 1:g(a)=0 oder g(b)=0

und Fall 2:g(a)>0 und g(b)<0

Jetzt möchte ich mit dem Zwischenwertsatz argumentieren, dass Fall 2 nicht funktionieren würde, jedoch kann ich dies schlecht mathematisch formulieren.

Kann mir jemand bei der Formulierung helfen. Zwar verstehe ich es, jedoch fällt mir dies schwer.


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

20:41 Uhr, 02.12.2019

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Hallo,

verstehe das Problem nicht.
Der Weg ist der Standard.
Falls g(a),g(b)0, dann folgt zwangsläufig g(a)>0, g(b)<0.
Da mit f ist auch g stetig, insbesondere gilt der Zwischenwertsatz, wonach jeder Wert zwischen g(a)>0 und g(b)<0 angenommen wird. Insbesondere hat g eine Nullstelle (g(b)<0<g(a)).

Mfg Michael


PS: Einen entsprechenden Beweis findet sich mit nur wenig Suche im Netz.
RandomDude

RandomDude aktiv_icon

22:48 Uhr, 02.12.2019

Antworten
Hallo,

danke für deine Hilfe.
Hatte zwei Aspekte verwechselt.


MfG
RandomDude

RandomDude aktiv_icon

10:18 Uhr, 03.12.2019

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Hallo,

ich hätte interessehalber noch mal eine Nachfrage.
Warum verwendet man geschlossenen Klammern bzw. warum würde dies nicht für offene Klammer gelten?

MfG
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.