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Beweis von Äquivalenz mit Mengen

Universität / Fachhochschule

Tags: Äquivalenz, Beweis, mengen

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01:18 Uhr, 21.10.2015

Guten Tag Community,
ich habe heute meine erste Vorlesung gehabt, darin haben wir uns mit Mengenlehre beschäftigt.
Wir haben im Groben besprochen was es für Mengen gibt und wie man sie miteinander verrechnet (Mengenoperationen). Zur Übung nun habe wir folgende Aufgabe bekommen:

Seien A und

B

zwei Mengen. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1) A

(Schnitt)

B = A

2) A

(Vereinigt)

B = B

3) A

(Teilmenge)

B

Ich kenne die Lösung weiß nur nicht wie ich sie notieren muss, sodass sie korrekt gelöst ist. Meine Lösung im Wortlaut wäre wiefolgt:

3) A

ist die Teilmenge von

B,

dass heißt dass alle Elemente in A auch ein Elemen von

B

ist

2)

Da die Menge A eine Schnittmenge von

B

ist gilt, jedes Element von A vereinigt mit der Menge

B

ist wieder die Gesamntmenge (Obermenge) B.
1)Alle Elemente in A sind zwar Elemente von

B,

doch bei dem Schnitt fallen die Elemente der Obermenge die nicht in A sind weg und deshalb bleibt die Untermenge als Menge für sich als Ergbenis stehen.

Nun weiß ich leider nicht wie ich das ganze mathematisch korrekt aufschreiben soll! Ich habe mich mal versucht und folgendes notiert, was sicherlich falsch ist:

A (Teilmenge)

B =

x(Element)A

\to

x(Element)B
A (Schnitt)

B = A =

{

x:x(Element)A(Teilmenge)B}

\to

x(Element)B
A (Vereinigt)

B = B =

{

x:x(Element)B}

Das ganze war eher eine Raterei, deswegen wende ich mich an euch. Da das ganze nun elementar wichtig ist bitte ich euch so einfach wie möglich zu antworten, denn ich bin ein totaler Neuling auf dem Gebiet.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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09:36 Uhr, 21.10.2015

Für die Äquivalenz von zwei Aussagen

A_{1}

und

A_{2}

muss man zeigen, dass

A_{1} = > A_{2}

und

A_{2} = > A_{1}

. Bei drei Aussagen kannst Du auch paarweise Äquivalenz zeigen, aber einfacher ist, die Implikationen "im Kreis" zu zeigen, z.B.

A_{1} = > A_{2} = > A_{3} = > A_{1}

, das reicht auch. Oder z.B.

A_{2} = > A_{1} = > A_{3} = > A_{2}

, die Reihenfolge ist egal, Du musst nur "den Kreis schließen".

Also, Du musst nur drei Implikationen zeigen, sie sind alle trivial.
Z.B.

A \cap B = A = > A \subset B

kann so gezeigt werden.
Gegeben:

A \cap B = A

. Sei jetzt

a

aus

A

beliebig. Wegen

A \cap B = A

liegt

a

auch in

A \cap B

, also auch in

B

. Da

a

beliebig war, haben gezeigt: alle Elemente aus

A

liegen auch in

B

, also

A \subset B

.

Usw. Mehr zu schreiben als zu denken. :-)

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11:03 Uhr, 21.10.2015

Danke erstmal für deine Antwort! Ich konnte sie gedanklich gut nachvollziehen.
Leider scheitere ich dennoch bei A (Vereinigt)

B = B \to A

(Teilmenge)

B

Könntest du freundlicherweise nochmals anhand dieses Beispiels zeigen wie man beweist?

Ich bin soweit und scheitere:

∀x∈A =>x∈A(vereinigt)B

\Rightarrow

?

Ich kann ja jetzt nicht schreiben dass daraus folgt dass x∈b denn es kann ja sein dass es nur in a liegt. Ich weiß dass die Menge A ja eine Teilmenge von

B

ist aber wenn ich das ganze so rum mache habe ich das ja nicht vorrausgesetzt.

Oder kann ich jetzt sagen, dass weil A(vereinigt)B

= B

ergibt, dass ich annehmen kann dass x∈B ist?

Ich denke ich blicke noch nicht ganz durch

\frac{:}{}

DrBoogie aktiv_icon

13:43 Uhr, 21.10.2015

"Ich kann ja jetzt nicht schreiben dass daraus folgt dass

x \in b

denn es kann ja sein dass es nur in

A

liegt."

Nein, kann es nicht. Alle Elemente aus

A

liegen in

A \cup B

nach der Definition von

\cup

. Aber

A \cup B

ist gleich

B

in diesem Fall. Also liegen alle Elemente aus

A

auch in

B

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