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Beweis von Konvergenz bei Reihen

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Folgen und Reihen

Tags: absolute Konvergenz, Beweis, Folgen und Reihen, Konvergenz

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Daragoth

Daragoth aktiv_icon

17:32 Uhr, 26.11.2017

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Hi
Meine Aufgabe ist:

Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:

(ii)

\sum_{n = 1}^{\infty}

an ist absolut konvergent ⇒

\sum_{n = 1}^{\infty}

an^2 ist konvergent

Die Aussage müsste stimmen, da man um absolute Konvergenz zu bestimmen immer Betrag von an macht.
Und wenn man (an)^2 nimmt dann sind die Werte auch positiv, somit müsste doch auch dies Konvergent sein

Wie kann ich das aber am besten aufschreiben?
Kann mir jemand weiter helfen
Danke :-)

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Antwort

DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

17:43 Uhr, 26.11.2017

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\sum_{n} a_{n}

abs. konvergent =>

a_{n} \to 0

=>

a_{n}

beschränkt =>

∣ a_{n} ∣ \leq C

für alle

n

=>

0 \leq a_{n}^{2} = ∣ a_{n} ∣^{2} \leq C ∣ a_{n} ∣

=>

\sum_{n} a_{n}^{2}

konvergiert, weil sei durch

\sum_{n} C ∣ a_{n} ∣

majoriert wird.

Daragoth

Daragoth aktiv_icon

18:10 Uhr, 26.11.2017

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Danke dir

Ist

{| a_{n} |}^{2} \leq C \cdot | a_{n} |

weil

| a_{n} | \leq C

sein kann?
Also das

C \cdot | a_{n} |,

wenn

C = | a_{n} |

ist,

| a_{n} | \cdot | a_{n} |

ist, das bedeutet dann

{| a_{n} |}^{2}

?

Antwort

DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

18:22 Uhr, 26.11.2017

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Du formulierst es irgendwie ganz komisch.

∣ a_{n} ∣ \leq C

für alle

n

, das würde ich nicht mit "kann sein" bezeichnen, das ist Tatsache. Man kennt zwar die konkrete Zahl

C

nicht, aber das tut nichts zur Sache.
Und dass aus

∣ a_{n} ∣ \leq C

dann

∣ a_{n} ∣^{2} \leq C ∣ a_{n} ∣

folgt, sollte doch klar sein. Eine Ungleichung kann man halt immer mit einer nichtnegativen Zahl multiplizieren.

Frage beantwortet

Daragoth

Daragoth aktiv_icon

18:26 Uhr, 26.11.2017

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Ja ich bin nicht so gut in formulieren :-D)

Aber ich habe es jetzt verstanden :-)

Ich danke dir :-)

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