Beweis von Satz des Pythagoras

Ich soll den Satz des Pythagoras mit Hilfe des Skalarprodukts beweisen, indem ich das Dreieck als Summe zweier Vektoren darstellen soll.

Mein (glaub ich) richtiger ansatz ist:

${\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}^2+{\overrightarrow{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}^2={\overrightarrow{\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}^2}$ wobei ${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\overrightarrow{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}-\overrightarrow{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

das heißt:

${\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}^2+{\overrightarrow{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}^2={(\overrightarrow{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}-\overrightarrow{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}})}^2}$

${\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}^2+{\overrightarrow{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}^2={\overrightarrow{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}^2-2\cdot \overrightarrow{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}+{\overrightarrow{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}^2}$

aber hier würden sich doch ${\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}^2}$ und ${\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}^2}$ wegkürzen oder? was mach ich falsch?