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Beweis von Ungleichung - Mittelwertsatz

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Tags: Beweis, Funktion, Mittelwertsatz, Ungleichung

 
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jojodrdo

jojodrdo aktiv_icon

13:49 Uhr, 11.05.2018

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Hey!

Ich bin momentan dran den Beweis von Ungleichungen mittels des Mittelwertsatz zu verstehen. Ich habe das Prinzip so grade mal verstanden, jedoch verstehe ich Sachen erst, wenn ich ein konkretes Beispiel habe. Leider finde ich keine wirklich guten, denn die Aufgaben die ich in meinem Skript habe sich irgendwie ohne x und ich weiß nicht was ich damit anfangen soll.

Wäre sehr hilfreich wenn mir jemand den Mittelwertsatz anhand folgendem Beispiel erklären kann:

|cos(b)-cos(a)| ≤ |b-a|

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

14:52 Uhr, 11.05.2018

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Sei f(x)=cos(x). Dann fʹ(x)=-sin(x).
Nach Mittelwertsatz existiert ein ξ∈(a,b), so dass f(b)-f(a)=fʹ(ξ)(b-a),
also cos(b)-cos(a)=-sin(ξ)(b-a).
Daraus folgt ∣cos(b)-cos(a)∣=∣-sin(ξ)(b-a)∣=∣sin(ξ)∣⋅∣b-a∣≤∣b-a∣, weil Sinus betragsmäßig durch 1 beschränkt ist.
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