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Beweis von Untergruppe

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Tags: Beweis, Gruppen, Untergruppen

 
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Valla

Valla aktiv_icon

14:21 Uhr, 11.11.2010

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(G,⋅) sei eine Gruppe, H ist Teilmenge von G eine endliche nichtleere Teilmenge von G.

BEweisen sie: H ist Untergruppe von G genau dann wenn für alle x,y Element H gilt x⋅y element H

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Online-Nachhilfe in Mathematik
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hagman

hagman aktiv_icon

21:31 Uhr, 11.11.2010

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Die eine Richtung ist trivial, denn wenn H Untergruppe ist, dann enthält H mit x,y stets auch x⋅y.

Ist H endliche nichtleere Teilmenge und multiplikativ abgeschlossen, so fehlt zur Untergruppe nur noch:
Aus x∈H folgt x-1∈H.
Sei also x∈H.
Per Induktion folgt xn∈H für alle n∈ℕ.
Da H endlich ist, können nicht alle xn verschieden sein, es gibt also n,m∈ℕ mit n≠m und xn=xm. Folgere hieraus, dass xk=e für zum Beispiel k=|n-m|∈ℕ.
Wenn x≠e, muss sogar k≥2 gelten. Folgere, dass xk-1 das Inverse von x ist.
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michaL

michaL aktiv_icon

23:39 Uhr, 11.11.2010

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Hallo,

@Hagman: Hab ich auch so gemacht, als ich diese Aufgabe zu lösen hatte. Heutzutage würde ich eher so argumentieren: Sei a∈H. Die Abbildung la:H→H,x↦a⋅x ist injektiv, also bijektiv, da ∣H∣<∞. Also gibt es b∈H mit ab=e.
Dass e∈H gilt, muss man natürlich vorher auch noch zeigen.

Mfg Michael
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