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Beweis von ln(x)<=x-1

Schüler Berufskolleg, 13. Klassenstufe

Tags: Beweis, ln, Logarithmus Naturalis

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18:33 Uhr, 02.10.2010

Hallo,

fange gerade mit dem Studium an und dort müssen wir in Mathematik einige Dinge beweisen.
Wie

z . B

. dieses:

Beweisen das

ln (x) \leq x - 1

immer gilt

Klar 'sieht' man, dass es so ist, aber man muss ja irgendein Beweis vorbringen und bei diesem bin ich mir noch lange nicht sicher, ob man dies so schreiben kann:

Da

x

nur größer 0 sein darf, muss ja für alle folgenden

x

gelten

(x + 1),

dass der Wert von

x - 1

'schneller' oder gleich schnell steigt wie der von

ln (x) .

Also dachte ich mir:

ln (x + 1) - ln (x) \leq ((x + 1) - 1) - (x - 1)

das müsste theoretisch dann auch immer gelten.

Zusammengefasst:

ln (1 + \frac{1}{x}) \leq 1

substituiere

1 + \frac{1}{x} = z

wann ist

ln (z) > 1

?

da

ln ()

umkehrfunktion von

e

\to

muss

z > e,

damit gilt

ln (z) > 1

also muss gelten, dass

1 + \frac{1}{x} > e

ist.

Da aber der Grenzwert von

1 + \frac{1}{x} = 1

ist, wird

1 + \frac{1}{x}

nie größer als

e

also folgt:

ln (1 + \frac{1}{x}) \leq 1

für alle

x

(bzw. differenz der folge glieder von

ln (x)

kleiner sind als die von

x - 1

und somit auch nicht so schnell ansteigen wie die von

x - 1)

und somit gilt, dass alle nachfolgenden glieder von

ln (x)

kleiner sind als die von

x - 1

Denkt Ihr, dass man das so gültig beweisen kann? Oder gehts viel einfacher? Oder ist das garnicht erst richtig?
Ich hoffe Ihr könnt mir dabei weiter helfen :-)

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