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Beweis zu Binomialkoeffizienten

Universität / Fachhochschule

Binomialkoeffizienten

Tags: Beweis, Binomialkoeffizient, Induktion

Baithoven aktiv_icon

23:08 Uhr, 07.11.2016

Hallo!
Bin neu im Forum und komme bei einem Beweis nicht weiter:

Aufgabe: Zeigen Sie

\sum_{k = 1}^{n} k (\binom{n}{k}) x^{k} (1 - x)^{n - k} = n x

für alle

n \in ℕ, x \in ℝ

Als Hinweis ist angegeben:

k (\binom{n}{k}) = n (\binom{n - 1}{k - 1})

(das habe ich bereits in einer anderen Aufgabe bewiesen, genauso wie:

\sum_{k = 0}^{n} k (\binom{n}{k}) = n \cdot 2^{(n - 1)}

)
Mein Ansatz war die Gültigkeit durch vollständige Indktion zu beweisen. Also:
Induktionsanfang: für n=1 kommt auf beiden Seiten x raus.
Voraussetzung:

\sum_{k = 1}^{n} k (\binom{n}{k}) x^{k} (1 - x)^{n - k} = n x

Induktionsschritt:

\sum_{k = 1}^{n + 1} k (\binom{n + 1}{k}) x^{k} (1 - x)^{n + 1 - k}

.....
Ab hier bekomme ich Probleme. Ich weiß, dass ich so umformen muss, dass ich die Voraussetzung wieder benutzen kann (und/oder den Hinweis). Meine erste Idee war das n+1. Glied aus der Summe rauszuziehen, leider sehe ich dann nicht, was mir das gebracht haben soll....
Wäre daher sehr dankbar über Hilfe

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

michaL aktiv_icon

23:46 Uhr, 07.11.2016

Hallo,

habt ihr den binomischen Lehrsatz

(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{k} b^{n - k}

schon zur Verfügung?
Wenn ja, dann verwende den Tipp, führe eine Indexverschiebung

m := k - 1

durch, klammere ein

x

aus und wende eben den binomischen Lehrsatz an.

Und... bevor du fragst: Mach, da siehst du schon, warum!

Mfg Michael

Baithoven aktiv_icon

00:04 Uhr, 08.11.2016

Hi Michael,

danke für deine Antwort, Eine kurze Rückfrage: soll ich das beim Induktionsschritt machen oder bei der "Voraussetzung"? Ja, den binomischen Lehrsatz haben wir zur Verfügung.

michaL aktiv_icon

00:10 Uhr, 08.11.2016

Hallo,

wenn ihr den binomischen Lehrsatz schon hattet, brauchst du keine Induktion mehr. Dann kannst du den Term so umformen, dass der binomische Lehrsatz angewendet werden kann. Vor der Summe müssen dann nur noch

n

und

x

stehen.

Mfg Michael

Baithoven aktiv_icon

00:33 Uhr, 08.11.2016

Irgendwie stehe ich gerade auf dem Schlauch...
Ich habe das mal so probiert:

\sum_{i = 1}^{n} n (\binom{n - 1}{k - 1}) x^{k} (1 - x)^{n - k} = n \sum_{i = 0}^{n - 1} (\binom{n - 1}{k}) x^{k + 1} (1 - x)^{n - (k + 1)}

aber wie soll ich jetzt weitermachen?....

MfG

michaL aktiv_icon

08:14 Uhr, 08.11.2016

Hallo,

schon nicht schlecht, aber in Teilen verkehrt.
1. Du hast offenbar

i = k - 1

verwendet. (Gut!) Aber in deiner Summe (mit dem

i

) tauchen noch

k

auf. Vermutlich willst du nach der Indexverschiebung wieder

k

für

i

schreiben (ok, führt aber leichter zu Durcheinander).
2. Wenn meine Vermutung (wieder

k

statt

i

schreiben) korrekt ist, dann sind die Exponenten von

x

und

1 - x

richtig, aber der von

1 - x

unglücklich geschrieben, sodass man nicht gut erkennen kann, wie der binomische Lehrsatz angewendet werden soll.
3. Bringe noch ein

x

vor die Summe, da sonst nicht gut erkennbar ist, wie der binomische ...

Mfg Michael

Baithoven aktiv_icon

17:22 Uhr, 08.11.2016

Hallo,

vielen Dank für Ihre Mühe. Ich meine natürlich

k

und nicht

i

unter den Summen. Leider sehe ich nicht, wie ich ein

x

aus der Summe rausbekommen oder den Exponenten von

(1 - x)

besser hinschreiben kann......

MfG

pwmeyer aktiv_icon

17:29 Uhr, 08.11.2016

Hallo,

bis MichaL wieder da ist:

x^{k + 1} = x \cdot x^{k}

und

n - (k + 1) = (n - 1) - k

und eben der binomische Lehrsatz.

Gruß pwm

Baithoven aktiv_icon

18:16 Uhr, 08.11.2016

Wow ich hab's! Vielen lieben Dank, Ihnen/euch beiden! Das mit dem

x^{k + 1}

....das hat mich die ganze Zeit gestört, aber ich wusste nicht wie ich das umschreiben soll, aber da hätte ich ja auch mal drauf kommen können, das war jetzt aber der entscheidende Hinsweis.

n \sum_{k = 0}^{n - 1} (\binom{n - 1}{k}) x^{k + 1} (1 - x)^{n - (k + 1)} = n x \sum_{k = 0}^{n - 1} (\binom{n - 1}{k}) x^{k} (1 - x)^{(n - 1 - k)} = n x (x + 1 - x)^{n - 1} = n x

Nochmals Danke und einen schönen Abend!

MfG

Baithoven

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