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Beweis zu Vorzeichen von Winkeln

Universität / Fachhochschule

Tags: Geometrie, Vorzeichen, Winkel

 
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lillytalika

lillytalika aktiv_icon

19:57 Uhr, 29.10.2024

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Hallihallo,
ich habe folgende Aufgabe:

Gegeben seien eine Gerade (PQ) und eine Strecke XY, so dass XY die Gerade (PQ) nicht schneidet. Zeigen Sie, dass dann die Winkel ∡PQX und ∡PQY das gleiche Vorzeichen haben.

Zu Vorzeichen von Winkeln haben wir keine Definition über Uhrzeigersinn oder so konstruiert, sondern folgende Infos stehen zur Verfügung:

Def: Ein Winkel AOB heißt:
- positiv 0< Winkelmaß von AOB <π
- negativ 0> Winkelmaß von AOB
Sowie die Sätze:
Nebenwinkel haben das selbe Vorzeichen.
Der Winkel AOB ist positiv genau dann wenn BOA negativ ist.
In einem Dreieck ABC haben die Winkel ABC, BCA und CAB das selbe Vorzeichen.

Meine Idee war einen Punkt Z zu konstruieren, sodass Q zwischen P und Z. Demnach wären PQY,YQZ sowie PQX,XQZ Nebenwinkel und hätten das selbe Winkelmaß. Das POZ= plusminus Π, folgt aus PQY+YQZ=+-Pi = PQX + XQZ die Behauptung, allerdings weiß ich nicht wie ich weiterkomme, wenn eine Summe Π und die andere minus Π ergibt. Ist das ein guter Ansatz oder übersehe ich etwas? Kann ich was anderes konstruieren? Gibt es den Beweis irgendwo?

Ich danke jetzt schon für alle Kommentare!
LG Lilly

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Roman-22

Roman-22

20:48 Uhr, 29.10.2024

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> Zu Vorzeichen von Winkeln haben wir keine Definition über Uhrzeigersinn oder so konstruiert
Und wie genau kommt dann das "Winkelmaß von AOB" zustande?
Antwort
calc007

calc007

21:27 Uhr, 29.10.2024

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Hallo
Ich vermute, Du und Ihr bewegt euch gedanklich im zwei-dimensionalen Raum. Ja, oder?



Mach eine Skizze.
Die Gerade teilt doch die Ebene in zwei Halb-Ebenen.
Wenn die Strecke XY die Gerade nicht schneidet, dann sind doch beide Endpunkte X,Y auf der gleichen Halb-Ebene.
Gemäß deinen Vorzeichen-Angaben gibt's eigentlich nicht so furchtbar viel zu überlegen:
> wenn du den Winkel PQX als positiv ansehen willst, dann ist doch auch der Winkel PQY (    in der selben Halbebene) positiv;
> wenn du den Winkel PQX als negativ ansehen willst, dann ist doch auch der Winkel PQY (    in der selben Halbebene) negativ;

lillytalika

lillytalika aktiv_icon

21:40 Uhr, 29.10.2024

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Hallo, wir haben Winkelmaß folgendermaßen definiert:
Das Winkelmaß ist eine Funktion, die jedem Tripel von Punkten (A,B,C) eine reelle Zahl im Intervall (-π,π] zuordnet
lillytalika

lillytalika aktiv_icon

21:41 Uhr, 29.10.2024

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Danke dir, aber tatsächlich wurde von unserem Prof gesagt, dass wir exakt diese Aussage nicht verwenden dürfen, da es eine Folgerung aus der zu beweisenden Aussage ist.
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Roman-22

Roman-22

00:45 Uhr, 30.10.2024

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> Hallo, wir haben Winkelmaß folgendermaßen definiert:
> Das Winkelmaß ist eine Funktion, die jedem Tripel von Punkten (A,B,C) eine reelle Zahl im Intervall (−π,π] zuordnet

Ja, die Beschränkung auf den Bereich (-π;π] ist schon mal eine wesentliche Information. Und jetzt fehlt eben noch genau das 'wie'.
Welche Zahl wird einem konkreten Winkel ABC zugeordnet. Wie wird diese Zahl bestimmt. Wann ist sie positiv und wann negativ?
Es fehlt also noch, wie diese Funktion genau definiert ist. Ich vermute, dass nun, entgegen deiner ursprünglichen Aussage, nun doch ein Drehsinn ins Spiel kommen wird ...
Vielleicht wurde die Funktion (A;B;C)φ aber auch anders durch eine Reihe von Eigenschaften definiert.


Antwort
HAL9000

HAL9000

08:39 Uhr, 30.10.2024

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Eine Möglichkeit der Winkelfestlegung (inklusive Vorzeichen) für Punkte AO,BO:

Man legt man ein Koordinatensystem in diese Ebene derart, dass O der Ursprung und A auf der positiven x-Achse liegt, und dann definiert man AOB als den Polarkoordinatenwinkel des Punktes B in diesem Koordinatensystem, mit einem Wertebereich (-π,π].

Wie gesagt, das ist nur eine Möglichkeit, aber irgend etwas derart konkretes würde ich mir (und vermutlich auch Roman) als Definition wünschen - wie sonst soll man einen ordentlichen Beweis hier aufziehen?

Frage beantwortet
lillytalika

lillytalika aktiv_icon

09:27 Uhr, 30.10.2024

Antworten
Danke euch allen vielmals für eure Beiträge. Ich habe die Aufgabe vorhin noch einmal mit meiner Dozentin besprochen und sie hat mir einen wichtigen Hinweis gegeben und jetzt hab ich eine Lösung gefunden.