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Beweis zum Vektor v senkrecht

Universität / Fachhochschule

Skalarprodukte

Tags: Beweis, Skalarprodukt

Ice-Fachus aktiv_icon

16:03 Uhr, 06.11.2015

Hallo Leute,
Erstmal vorab ich bin neu hier und kenne mich noch nicht so gut aus hier. Auf jeden Fall brauche ich eure Hilfe. Bei dem Aufgaben Teil

b)

wird nach einer Herleitung von dem senkrechten Anteil des Verkrors

v

gefragt. Ich hab mir die letzte Woche jeden Tag die Aufgabe bestimmt 3 mal angeguckt.
Mein Probelm ist, dass ich den Zusammenhang mit dem Sinus und dem Einheitsvektor, der um

\frac{Π}{2}

gedreht ist nicht erkenne.

Über Hilfe wäre ich echt sehr dankbar, da Montag Abgabe ist :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

oculus aktiv_icon

17:28 Uhr, 07.11.2015

Also, zunächst mal zu Aufg.

a)

Soweit ich die Aufgabe verstanden habe, ist der die Geradenrichtung bestimmende Einheitsvektor der Vektor

\vec{e_{1}} = (\begin{matrix} cos α \\ sin α \end{matrix})

und der dazu senkrechte Einheitsvektor der Vektor

\vec{e_{2}} = (\begin{matrix} - sin α \\ cos α \end{matrix})

. Anm.: Ich habe statt

\vec{e}

lieber

\vec{e_{1}}

geschrieben, um den zu

\vec{e}

senkrechten Einheitsvektor mit

\vec{e_{2}}

benennen zu können.

Wenn man nun

\vec{v} = (\begin{matrix} \sqrt{2} \\ \sqrt{2} \end{matrix})

darstellen will als Linearkomposition von

\vec{e_{1}}

und

\vec{e_{2}},

so hat man die Gleichung

v = λ_{1} \cdot e_{1} + λ_{2} \cdot e_{2}

nach

λ_{1}

und

λ_{2}

aufzulösen, also

(\begin{matrix} \sqrt{2} \\ \sqrt{2} \end{matrix}) = λ \cdot (\begin{matrix} cos α \\ sin α \end{matrix}) + λ_{2} \cdot (\begin{matrix} - sin α \\ cos α \end{matrix})

. Das gibt also für jedes der drei vorgegebenen

α

zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.

Wenn du bist hier einverstanden bist, können wir weitermachen.

oculus

Ice-Fachus aktiv_icon

17:42 Uhr, 07.11.2015

Ja klingt plausibel der zweite teil der Gleichung ist quasi

v

senkrecht, der Richtung von dem

v

parallel um

\frac{π}{2}

gedreht?

oculus aktiv_icon

22:21 Uhr, 07.11.2015

Wenn du mit meinem Ansatz übereinstimmst, dann löse mal die

2 \cdot 3

Vektorgleichungen
nach

λ_{1}

und

λ_{2}

auf. Das geht mit einem CAS ja ruckzuck.
Meine Ergebnisse wären
dann für

\vec{v}

mit

α = 0 : λ_{1} = \sqrt{2}

und

λ_{2} = \sqrt{2}

α = \frac{π}{2} : λ_{1} = \sqrt{2}

und

λ_{2} = - \sqrt{2}

α = - \frac{π}{2} : λ_{1} = - \sqrt{2}

und

λ_{2} = \sqrt{2}

und für

\vec{w}

mit

α = 0 : λ_{1} = 1

und

λ_{2} = 2

α = \frac{π}{2} : λ_{1} = 2

und

λ_{2} = - 1

α = - \frac{π}{2} : λ_{1} = - 2

und

λ_{2} = 1

Kontrolliere das bitte nach und formuliere ggf. dann anhand dieser Ergebnisse die Antworten für diesen Aufgabenteil.

oculus

Ice-Fachus aktiv_icon

08:33 Uhr, 09.11.2015

Dein Ansatz war mir eine Hilfe nur ich finde das etwas umständlich wie du das machst.
Meine Lösung wäre:

v = a \cdot e + b \cdot e

senkrecht

dann ist

a = [v, e] b = [v, e

senk.

]

e

senk.

= e

\frac{π}{2}

gedreht sprich

(- e y; e x)

also ist

v = [v, e] \cdot e + [v, e

senk.

]

*(-e

y; e x)

dort dann die Skalarprodukte aufgelöst

v = | v | \cdot cos (v, e) \cdot e + | v | \cdot cos (v, e

senk.)*(-e

y; e x)

und da ich weis dass es ein rechtwinkliges Dreieck ist kann ich

cos (v, e

senk.) zu

sin (v, e)

daraus folgt :

v = | v | \cdot cos (v, e) \cdot e + | v | \cdot sin (v, e) \cdot (- e y; e x)

und damit wäre der Beweis zu Ende.

Müsste so auch gehen oder nicht ?

Gruß

oculus aktiv_icon

11:20 Uhr, 09.11.2015

Ich würde dir ja gern antworten, aber habe meine Schwierigkeiten, deinen Script zu verstehen.
Was soll "

v \cdot e + w \cdot e

senkrecht" bedeuten?
Meinst du unter

[v, e] b

das Skalarprodukt

v \cdot e

multipliziert mit b? Soll

[v, e

senkr.

]

bedaueten "

v

multipliziert mit dem zu

e

senrechten Vektor
Deine Schreibweise ist ungewöhnlich und bedarf einer Erklärung.

Schade, dass du schon heute Abgabe hast.

oculus

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