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Beweis zur Transitivität einer Relation

Universität / Fachhochschule

Relationen

Funktionalanalysis

Tags: Beweis, Funktionalanalysis, Relation., Transitivität

Pakkuna aktiv_icon

23:13 Uhr, 19.10.2015

Hallo,

ich habe bei folgender Fragestellung Schwierigkeiten, die Transitivität der Relation zu zeigen:

Sei

C

eine Menge komplexer unimodularer Zahlen. Wir definieren die Relation

R

auf

C x C

wie folgt:

(u, v) \in R

gdw. ganze Zahlen

j, k

existieren , sodass

u^{j} \cdot v^{k} = 1

gilt.

Bisheriger Lösungsansatz:
Seien

(u, v), (v, w) \in R

\to

Es existieren ganze Zahlen

j, k, l, m,

sodass

u^{j} \cdot v^{k} = 1

und

v^{l} \cdot w^{m} = 1

\to 1 = \frac{1}{1} = u^{j} \cdot v^{k - l} \cdot w^{m}

sowie

v^{k} = u^{- j}

und

v^{- l} = w^{m}

\to 1 = u^{0} \cdot w^{2 m}

mit

0, 2 m

ebenfalls ganze Zahlen

q . e . d

Das ist meine bisherige Lösung. Nur frage ich ich, gilt diese Relation dann nicht für jeweils zwei beliebe komplexe Zahlen, indem ich einfach

j = k = 0

wähle?

Danke für Eure Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Roman-22

00:03 Uhr, 20.10.2015

>

Nur frage ich ich, gilt diese Relation dann nicht für jeweils zwei beliebe komplexe Zahlen, indem ich einfach

j = k = 0

wähle?

Also, wenn die Relation tatsächlich so wie von dir beschrieben definiert wird, also ohne Einschränkungen für

i, j \in ℤ,

dann sehe ich das auch so. Dann ist eben

R = C \times C

C

ist hier allerdings laut Angabe nicht die Menge

ℂ

der komplexen Zahlen, sondern eine Teilmenge der unimodularen komplexen Zahlen, also jener komplexen Zahlen, deren Betrag 1 ist.

Ich würde an deiner Stelle nochmals die Angabe genauer überprüfen. Vielleicht gibt es doch eine Einschränkung für

i

und

j

oder vielleicht sollen auch

u^{j}

und

v^{k} \in C

liegen.

Pakkuna aktiv_icon

12:21 Uhr, 20.10.2015

Dann liegt es vielleicht an einem Übersetzungsfehler. Hier der genaue Wortlaut aus dem Buch:

Definition von

C :

"(...)

C

the set of unimodular complex numbers with the usual topology."

Definition von Unabhängigkeit:
"Two members

z

and

w

C

are said to be dependent, if there are integers

j

and

k

such that

z^{j} w^{k} = 1;

otherwise they are said to be independent."

Definition der Relation:
"For

w, z \in C

let

(w, z) \in R

iff

w

and

z

are dependent. It is easy to verify that

R

is an equivalence relation."

Ich hatte integer als 'ganze Zahl' übersetzt - oder schließt ein Integer etwa die 0 aus? Bzw. wurde dies vergessen zu erwähnen? Dann ist die Relation nicht mehr so trivial.

Reflexivität und Symmetrie würden ohne 0 weiterhin gelten nur in dem Fall fehlt mir der Beweis für die Transitivität.

Roman-22

17:25 Uhr, 20.10.2015

Ich sehe hier im Moment auch nur einen Unterschied zu deiner Übersetzung.
Du hattest geschrieben, dass

C

eine Menge unimodularer komplexer Zahlen sein soll.
Tatsächlich ist

C

aber die Menge der unimodularen komplexen Zahlen.

Ansonsten hätte ich auch integer als ganze Zahl, also inklusive 0 gesehen.
Mit der Topologie in

C

bin ich nicht so vertraut und ich überlege gerade daher, ob es betreffend des Potenzierens in

C

eine Einschränkung geben könnte.
Da aber

u^{0} = 1 \in C

gilt, sehe ich da im Moment noch nichts Böses.

Aber irgendwo wird der Haken schon noch versteckt sein, oder aber es wurde tatsächlich vergessen, den Trivialfall von 0 als Exponent auszuschließen.
Vielleicht hat ein andere Forenteilnehmer eine gute Idee dazu?

R

Ach ja, der Transitivitätsnachweis, auch wenn die Exponenten ungleich Null sind:

Wir haben

u ~ v \Rightarrow \exists a, b \in ℤ

mit

u^{a} \cdot v^{b} = 1 [1]

v ~ w \Rightarrow \exists c, d \in ℤ

mit

v^{c} \cdot w^{d} = 1 [2]

Aus

[2]

folgt:

v^{c} = w^{- d}

und natürlich auch

v^{b \cdot c} = w^{- b \cdot d} [3]

Potenzieren wir nun

[1]

mit

c

u^{a \cdot c} \cdot v^{b \cdot c} = 1

und setzen nun

[3]

ein

u^{a \cdot c} \cdot w^{- b \cdot d} = 1

und schon haben wir mit

e = a \cdot c

und

f = - b \cdot d

zwei ganze Zahlen gefunden, mit denen

u^{e} \cdot w^{f} = 1

gilt und demnach stehen auch

u

und

w

in Relation

u ~ w

und die Transitivität ist gezeigt.

Pakkuna aktiv_icon

11:38 Uhr, 21.10.2015

Ah super, alles klar :-) Dann werden sie wohl vergessen haben, die 0 auszuschließen. Danke!

Roman-22

11:52 Uhr, 21.10.2015

Es reicht schon

j \neq k

zu fordern.

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