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Hallo, ich habe mit meinem Lehramtstudium Mathe begonnen und bin mir vor allem jetzt am Anfang noch sehr unsicher, ob das, was ich mache überhaupt richtig ist und ich es richtig verstanden habe.
Für jede Hilfe bzw. Verbesserungsvorschläge bei nachfolgenden Aufgaben wäre ich sehr dankbar. Ich bekomme keine Punkte oder Note darauf. Das dient rein zur Übung für mich.
Beweise die Mengengleichung für
In den folgenden Aufgabenteilen sind und beliebgie Mengen. Beweise die Gleichung
Zeige, dass die Gleichung nicht erfüllt ist.
Welche Bedingung müssen die Mengen A und erfüllen, damit gültig ist? Weise nach, dass die angegebene Bedingung hinreichend ist.
Beweise die Äquivalenz
Mein Vorschlag zu
1. Man bestimmt die Schnittmenge indem man folgendes Gleichungssystem löst:
I. II.
Ich multipliziere die Gleichung I mit sodass folgt I.'
Anschließend rechne ich I.'-II: Aufgelöst
Nun setzze ich in II ein: aufgelöst: und somit auch
2. Ausdrücke in abhängigkeit von
3. Parametrische Darstellung Ich setzte
Daraus ergibt sich:
Somit gilt für
Zu beweisen ist:
Kann bewiesen werden, indem gezeigt wird, dass gilt: 1.Inklusion: 2. Inkusion:
1.Inklusion: Für ein beliebiges Element gilt, dass und .
Da gilt, folgt oder .
1. Fall:
Hier gilt, dass und deshalb folgt daraus, dass .
2. Fall: Da und gilt, folgt daraus . Somit gilt:
Für beide Fälle gilt also und somit folgt daraus:
2. Inklusion:
Für gilt entweder oder .
1. Fall: Hier gilt und . Weil gilt . Daher folgt daraus .
2. Fall: Hier gilt und . Weil gilt . Daher folgt daraus .
Für beide Fälle gilt sodass gezeigt ist, dass gilt.
Da beide Inklusionen als gültig bewiesen wurden, wurde bewiesen, dass die beiden Mengen und gleich sind.
Zu zeigen ist: nicht erfüllt ist.
Aufgrund des Operators "zeigen2 gehe ich davon aus, dass ein Gegenbeispiel reicht, um die Ungültigkeit der Gleichung zu zeigen.
Gegenbeispiel:
(falsche Aussage)
Das Gegenbeispiel zeigt, dass die Gleichung nicht gilt.
Welche Bedingungen müssen A und erfüllen, damit gilt: ?
"Wahrscheinlichkeit, dass entweder A oder oder beide eintreten".
Es gilt:
Damit die Gleichung gilt, muss sein
Das bedeutet, dass A und unvereinbar (disjunkt) sein müssen.
Bedingung ist folgich:
Nachweisen, dass meine Bedingung hinreichend ist:
Wenn gilt, dann gilt
Daraus folgt:
Die Bedingung ist folglich hinreichend.
Beweis der Äquivalenz
1. Implikation:
Wenn gilt, dann ist jedes auch ein Element von Wenn ein beliebiges ist, dann ist eine Teilmenge von
Weil und folgt wegen der Transitivität der Teilmengenbeziehungne: Folglich ist auch Element von .
2. Implikation:
Weil folgt aus der Annahme dass gilt.
Wenn gilt weil . Damit ist gezeigt, dass gilt.
Da beide Implikationen bewiesen sind, folgt dass die Äquivalenz ebenso bewiesen ist.
Das wäre mein Lösungsvorschlag.
Für jede Hilfe bin ich euch sehr dankbar!
Liebe Grüße Sophia
Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
Hierzu passend bei OnlineMathe:
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Hallo,
ich habe nun nur nach a) geschaut. Dabei ist mir aufgefallen, dass du nicht "" gezeigt hast, sondern nur "". Du müsstest noch zeigen (das ist übrigens der einfachere Teil, dass alle Elemente aus jeweils Elemente von und sind, d.h. diese Elemente die Gleichungen der Elemente in bzw. erfüllen.
Mfg Michael
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Stimmt! Da hast du vollkommen Recht! Das habe ich total übersehen. Ich mache mich gleich daran!
Dankeschön!
Kann ich dabei dann so vorgehen?
Aus meiner vorherigen Lösung mit ergibt sich, dass gilt.
Jedoch muss ich nun auch zeigen, dass jedes Element in ist.
Wenn ein beliebiges Element aus ist, dann gilt:
Somit gilt
(Ich setze hier einfach und in die Gleichungen ein)
Außerdem gilt für
. Daraus folgt
Damit gilt: .
Weil und gilt, folgt
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Was (c)(d)(e) betrifft:
M.E. befindest du dich da gewaltig auf dem Holzweg, was die Deutung von betrifft: Das ist hier gewiss kein Wahrscheinlichkeitsmaß, woher auch! Ich tippe mal drauf, dass damit hier "Potenzmenge" gemeint ist.
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Achso Somit sind die ganzen Beweise ja auch falsch Dann werde ich das nochmal überarbeiten! Dankeschön für den Hinweis
Da bin ich noch zu sehr in der Schulmathematik. Doof, dass ich Potenzmenge einfach mit Wahrscheinlichkeit verwechselt habe.
Stimmt der Beweis für und ?
So noch einmal von neu:
Ich würde hier auch mit einem Gegenbeispiel arbeiten.
Sei und
Dann gilt:
ist die Potenzmenge von also gilt
ist die Potenzmenge von also gilt
bedeutet, dass alle Elemente von die nicht in enthalten sind, betrachtet werden sollen
Weil und gilt, ist gezeigt, dass
.
Würde das soweit stimmen?
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Ja, a) ist nun in Ordnung, durch die nachgelieferte "Probe" (so würde ich das mal nennen).
b) ist auch in Ordnung, wenn man das über einen solchen elementweisen Beweis machen will.
Wie so oft ist die Frage, was man schon an Mengenbeziehungen nutzen darf: Kennt man schon (mit Komplementbildung bzgl. einer gemeinsamen Obermenge) sowie die deMorganschen Regeln für Mengen, so könnte der Beweis auch einfach so aussehen:
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Ah das ist ja interessant, das kenne ich noch nicht! Aber wirkt total toll und viel einfacher.
Mit deinem tollen Beweis werde ich mich dann am Wochenende beschäftigen! Dankeschön! :-)
Dankeschön, dass du dein Wissen mit mir teilst!
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Entschuldigt, da habe ich ein Durcheinander ausgelöst, indem ich meinenn alten Beitrag geändert habe!
Ich führe deshalb nocheinmal meinen neuen Lösungsversuch für ausgehend davon, dass eine Potenzmenge meint, an:
Ich würde hier auch mit einem Gegenbeispiel arbeiten.
Sei und
Dann gilt:
ist die Potenzmenge von also gilt P(A)=∅,{1},{2},{1,2}}
ist die Potenzmenge von also gilt P(B)=∅,{2}}
B)=∅,{1}}
bedeutet, dass alle Elemente von die nicht in enthalten sind, betrachtet werden sollen
Weil P(A\B)=∅,{1}} und gilt, ist gezeigt, dass
P(A\B)≠P(A)\setminus .
Würde das soweit stimmen?
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Die Formulierung bei (c) mit diesem "Gleichung falsch" ist etwas missdeutbar. Ich habe sie (strenger als du) so gedeutet, dass man zeigen soll, dass diese Gleichung niemals erfüllt ist - was sich aber auch problemlos nachweisen lässt:
Die leere Menge ist in allen Potenzmengen enthalten, also auch in , und , damit aber nicht in - fertig.
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Ach super! Danke dir! So ist das natürlich viel besser! Ich denke viel zu komplex oder "seltsam". Danke dir vielmals :-)
Ich würde den Thread (oder wie man dazu sagt) noch offen lassen, da ich gerne noch später meine Lösungsversuche für und hochladen würde.
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Nun habe ich mich mit der Frage beschäftigt.
Welche Bedingung müssen die Mengen A und erfüllen, damit P(A∪B)=P(A)∪P(P) gültig ist? Weise nach, dass die angegebene Bedingung hinreichend ist.
DAmit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Mengen A und so sein, dass jede Teilmenge von entweder eine Teilmenge von A oder eine Teilmenge von ist. Das wäre ja dann nur der Fall, wenn eine der Mengen A oder eine Teilmenge von der anderen Menge ist, oder?
Daher würde ich als Bedingung aufstellen:
oder
Beweis, dass meine Bedingung hinreichend ist:
Annahme: ohne Einschränkung soll gelten
Nun möchte ich zeigen, dass gilt. Weil ist, gilt Daraus folgt:
Wegen sind alle Teilmengen von A auch Teilmengen von B. Das bedeutet, dass gelten muss und somit wiederum gilt:
.
Weil und folgt .
Damit ist die Bedingung oder hinreichend, um die Gleichung zu erfüllen.
Auch hier gäbe es wahrscheinlich viel leichtere Methoden um das zu beweisen. Leider bin ich noch sehr unbeholfen und bin mir selbst in meiner Ausführung immer unsicher. Ich hoffe, dass sich das mit der Zeit verbessert.
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Hallo,
d) kann man so machen.
> Auch hier gäbe es wahrscheinlich viel leichtere Methoden um das zu beweisen.
Das würde ich pauschal nicht so sagen. Ja, in diesem Fall ist sicher Kontraposition etwas kürzer. Kontraposition ist folgende zu ( Aussagen) äquivalente Implikation: . ("" ist der Negierungsoperator.)
In diesem Falle ginge es also um folgende Aussage: Aus folgt: Weder noch gilt.
Wegen heißt , dass es eine Teilmenge gibt mit und . Somit muss mindestens ein Element enthalten, sodass gilt (sonst wäre eben doch ). Also gilt , aber , ergo folgt . Analog muss es ein geben, woraus wie oben folgt.
Mfg Michael
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Ach super, das ist natürlich schöner wie du das gemacht hast! Dankeschön! Das wäre mir so nicht eingefallen! :-)
Ich bedanke mich recht herzlich an alle die mir geholfen haben! Ihr seid einmalig! :-)
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