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Sophia77

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13:28 Uhr, 29.10.2024

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Hallo, ich habe mit meinem Lehramtstudium Mathe begonnen und bin mir vor allem jetzt am Anfang noch sehr unsicher, ob das, was ich mache überhaupt richtig ist und ich es richtig verstanden habe.

Für jede Hilfe bzw. Verbesserungsvorschläge bei nachfolgenden Aufgaben wäre ich sehr dankbar. Ich bekomme keine Punkte oder Note darauf. Das dient rein zur Übung für mich.

(a) Beweise die Mengengleichung MN=P für M={(x,y,z)3|x-2y+3z=1},N={(x,y,z)3|2x+y+z=2},P={(1-λ,λ,λ)|λ}

(b) In den folgenden Aufgabenteilen sind A,B und C beliebgie Mengen.
Beweise die Gleichung A\(B\C)=(A\B)(AC)

(c) Zeige, dass die Gleichung P(A\B)=P(A)\P(B) nicht erfüllt ist.

(d) Welche Bedingung müssen die Mengen A und B erfüllen, damit P(AB)=P(A)P(P) gültig ist? Weise nach, dass die angegebene Bedingung hinreichend ist.

(e) Beweise die Äquivalenz ABP(A)P(B)


Mein Vorschlag zu (a):

1. Man bestimmt die Schnittmenge MN indem man folgendes Gleichungssystem löst:

I. x-2y+3z=1
II. 2x+y+z=2

Ich multipliziere die Gleichung I mit 2, sodass folgt I.' 2x-4y+6z=2

Anschließend rechne ich I.'-II: -5y+5z=0
Aufgelöst y=z

Nun setzze ich y=z in II ein: 2x+z+z=2
aufgelöst: x=1-z und somit auch x=1-y

2. Ausdrücke in abhängigkeit von z
x=1-z
y=z
z=z

3. Parametrische Darstellung
Ich setzte z=λ

Daraus ergibt sich:

x=1-λ
y=λ
z=λ

Somit gilt (x,y,z)=(1-λ,λ,λ) für λ


(b) Zu beweisen ist: A\(B\C)=(A\B)(AC)

Kann bewiesen werden, indem gezeigt wird, dass gilt:
1.Inklusion: A\(B\C)(A\B)(AC)
2. Inkusion: (A\B)(AC)A\(B\C)


1.Inklusion: A\(B\C)(A\B)(AC)
Für ein beliebiges Element xA\(B\C) gilt, dass xA und xB\C.

Da xB\C gilt, folgt xB oder xC.

1. Fall: xB

Hier gilt, dass xA\B und deshalb folgt daraus, dass x(A\B)(AC).

2. Fall: xC: Da xA und xC gilt, folgt daraus xAC. Somit gilt: x(A\B)(AC)

Für beide Fälle gilt also x(A\B)(AC) und somit folgt daraus: A\(B\C)(A\B)(AC)

2. Inklusion: (A\B)(AC)A\(B\C)

Für x(A\B)(AC) gilt entweder xA\B oder xAC.

1. Fall: xA\B
Hier gilt xA und xB. Weil xB gilt xB\C.
Daher folgt daraus xA\(B\C).

2. Fall: xAC
Hier gilt xA und xC. Weil xC gilt xB\C. Daher folgt daraus xA\(B\C).

Für beide Fälle gilt xA\(B\C), sodass gezeigt ist, dass (A\B)(AC)A\(B\C) gilt.

Da beide Inklusionen als gültig bewiesen wurden, wurde bewiesen, dass die beiden Mengen A\(B\C) und (A\B)(AC) gleich sind.

(c) Zu zeigen ist: P(A\B)=P(A)\P(B) nicht erfüllt ist.

Aufgrund des Operators "zeigen2 gehe ich davon aus, dass ein Gegenbeispiel reicht, um die Ungültigkeit der Gleichung zu zeigen.

Gegenbeispiel: P(A)=0,7,P(B)=0,2,P(AB)=0,3

P(A\B)=P(A)\P(B)
P(A)-P(AB)=P(A)setiminusP(B)
0,7-0,3=0,7-0,2
0,4=0,5 (falsche Aussage)

Das Gegenbeispiel zeigt, dass die Gleichung nicht gilt.

(d) Welche Bedingungen müssen A und B erfüllen, damit gilt: P(AB)=P(A)P(B)?

P(AB)= "Wahrscheinlichkeit, dass entweder A oder B oder beide eintreten".

Es gilt: P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)

Damit die Gleichung P(AB)=P(A)P(B) gilt, muss P(AB)=0 sein

Das bedeutet, dass A und B unvereinbar (disjunkt) sein müssen.

Bedingung ist folgich: AB=

Nachweisen, dass meine Bedingung hinreichend ist:

Wenn AB= gilt, dann gilt P(AB)=0

Daraus folgt:
P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)
P(AB)=P(A)+P(B)-0
P(AB)=P(A)+P(B)

Die Bedingung ist folglich hinreichend.


(d) Beweis der Äquivalenz ABP(A)P(B)

1. Implikation: ABP(A)P(B)

Wenn AB gilt, dann ist jedes xA auch ein Element von B
Wenn ein beliebiges YP(A) ist, dann ist Y eine Teilmenge von A:YA

Weil YA und AB folgt wegen der Transitivität der Teilmengenbeziehungne: YB
Folglich ist Y auch Element von P(B).

2. Implikation: P(A)P(B)AB

Weil Ap(A) folgt aus der Annahme P(A)P(B), dass AP(B) gilt.

Wenn AP(B), gilt AB, weil BP(B). Damit ist gezeigt, dass P(A)P(B)AB gilt.

Da beide Implikationen bewiesen sind, folgt dass die Äquivalenz ABP(A)P(B) ebenso bewiesen ist.


Das wäre mein Lösungsvorschlag.

Für jede Hilfe bin ich euch sehr dankbar!


Liebe Grüße
Sophia <3



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Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

13:40 Uhr, 29.10.2024

Antworten
Hallo,

ich habe nun nur nach a) geschaut.
Dabei ist mir aufgefallen, dass du nicht "=" gezeigt hast, sondern nur "".
Du müsstest noch zeigen (das ist übrigens der einfachere Teil, dass alle Elemente aus P jeweils Elemente von M und N sind, d.h. diese Elemente die Gleichungen der Elemente in M bzw. N erfüllen.

Mfg Michael
Sophia77

Sophia77 aktiv_icon

13:46 Uhr, 29.10.2024

Antworten
Stimmt! Da hast du vollkommen Recht! Das habe ich total übersehen.
Ich mache mich gleich daran!

Dankeschön!

Kann ich dabei dann so vorgehen?

Aus meiner vorherigen Lösung (x,y,z)=(1-λ,λ,λ) mit z=λ ergibt sich, dass MNP gilt.

Jedoch muss ich nun auch zeigen, dass jedes Element in PMN ist.

Wenn (x,y,z)=(1-λ,λ,λ) ein beliebiges Element aus P ist, dann gilt:

x-2y+3z=(1-λ)-2λ+3λ=1
Somit gilt (x,y,z)M

(Ich setze hier einfach x=1-λ,y=λ und z=λ in die Gleichungen ein)

Außerdem gilt für (x,y,z)=(1-λ,λ,λ):

2x+y+z=2(1-λ)+λ+λ=2. Daraus folgt (x,y,z)N

Damit gilt: PMN.

Weil MNP und PMN gilt, folgt MN=P



Antwort
HAL9000

HAL9000

13:57 Uhr, 29.10.2024

Antworten
Was (c)(d)(e) betrifft:

M.E. befindest du dich da gewaltig auf dem Holzweg, was die Deutung von P betrifft: Das ist hier gewiss kein Wahrscheinlichkeitsmaß, woher auch! Ich tippe mal drauf, dass damit hier "Potenzmenge" gemeint ist.

Sophia77

Sophia77 aktiv_icon

13:58 Uhr, 29.10.2024

Antworten
Achso :( Somit sind die ganzen Beweise ja auch falsch :(
Dann werde ich das nochmal überarbeiten! Dankeschön für den Hinweis :(

Da bin ich noch zu sehr in der Schulmathematik. Doof, dass ich Potenzmenge einfach mit Wahrscheinlichkeit verwechselt habe.

Stimmt der Beweis für (a) und (b)?

So noch einmal von neu:

(c) Ich würde hier auch mit einem Gegenbeispiel arbeiten.

Sei A={1,2} und B={2}

Dann gilt: A\B={1}

P(A) ist die Potenzmenge von A, also gilt P(A)={,{1},{2},{1,2}}

P(B) ist die Potenzmenge von B, also gilt P(B)={,{2}}

P(A\B)={,{1}}

P(A)\P(B) bedeutet, dass alle Elemente von P(A), die nicht in P(B) enthalten sind, betrachtet werden sollen

P(A)\P(B)={{1},{1,2}}

Weil P(A\B)={,{1}} und P(A)\P(B)={{1},{1,2}} gilt, ist gezeigt, dass

P(A\B)P(A)\P(B).

Würde das soweit stimmen?

Antwort
HAL9000

HAL9000

14:19 Uhr, 29.10.2024

Antworten
Ja, a) ist nun in Ordnung, durch die nachgelieferte "Probe" (so würde ich das mal nennen).


b) ist auch in Ordnung, wenn man das über einen solchen elementweisen Beweis machen will.

Wie so oft ist die Frage, was man schon an Mengenbeziehungen nutzen darf: Kennt man schon A\B=ABc (mit Komplementbildung bzgl. einer gemeinsamen Obermenge) sowie die deMorganschen Regeln für Mengen, so könnte der Beweis auch einfach so aussehen:

A\(B\C)=A(BCc)c=A(BcC)=(ABc)(AC)=(A\B)(AC)


Sophia77

Sophia77 aktiv_icon

14:21 Uhr, 29.10.2024

Antworten
Ah das ist ja interessant, das kenne ich noch nicht!
Aber wirkt total toll und viel einfacher.

Mit deinem tollen Beweis werde ich mich dann am Wochenende beschäftigen! Dankeschön! :-)

Dankeschön, dass du dein Wissen mit mir teilst!
Sophia77

Sophia77 aktiv_icon

14:23 Uhr, 29.10.2024

Antworten
Entschuldigt, da habe ich ein Durcheinander ausgelöst, indem ich meinenn alten Beitrag geändert habe!

Ich führe deshalb nocheinmal meinen neuen Lösungsversuch für c ausgehend davon, dass P eine Potenzmenge meint, an:

(c) Ich würde hier auch mit einem Gegenbeispiel arbeiten.

Sei A={1,2} und B={2}

Dann gilt: A\B={1}

P(A) ist die Potenzmenge von A, also gilt P(A)={∅,{1},{2},{1,2}}

P(B) ist die Potenzmenge von B, also gilt P(B)={∅,{2}}

P(A\ B)={∅,{1}}

P(A)\P(B) bedeutet, dass alle Elemente von P(A), die nicht in P(B) enthalten sind, betrachtet werden sollen

P(A)\P(B)={{1},{1,2}}

Weil P(A\B)={∅,{1}} und P(A)\P(B)={{1},{1,2}} gilt, ist gezeigt, dass

P(A\B)≠P(A)\setminus P(B).

Würde das soweit stimmen?
Antwort
HAL9000

HAL9000

14:30 Uhr, 29.10.2024

Antworten
Die Formulierung bei (c) mit diesem "Gleichung falsch" ist etwas missdeutbar. Ich habe sie (strenger als du) so gedeutet, dass man zeigen soll, dass diese Gleichung niemals erfüllt ist - was sich aber auch problemlos nachweisen lässt:

Die leere Menge ist in allen Potenzmengen enthalten, also auch in P(A\B), P(A) und P(B), damit aber nicht in P(A)\P(B) - fertig.

Sophia77

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14:37 Uhr, 29.10.2024

Antworten
Ach super! Danke dir! So ist das natürlich viel besser! Ich denke viel zu komplex oder "seltsam". Danke dir vielmals :-)

Ich würde den Thread (oder wie man dazu sagt) noch offen lassen, da ich gerne noch später meine Lösungsversuche für (d) und (e) hochladen würde.
Sophia77

Sophia77 aktiv_icon

16:23 Uhr, 29.10.2024

Antworten
Nun habe ich mich mit der Frage (d) beschäftigt.

(d) Welche Bedingung müssen die Mengen A und B erfüllen, damit P(A∪B)=P(A)∪P(P) gültig ist? Weise nach, dass die angegebene Bedingung hinreichend ist.

DAmit die Gleichung P(AB)=P(A)P(B) erfüllt ist, müssen die Mengen A und B so sein, dass jede Teilmenge von AB entweder eine Teilmenge von A oder eine Teilmenge von B ist.
Das wäre ja dann nur der Fall, wenn eine der Mengen A oder B eine Teilmenge von der anderen Menge ist, oder?

Daher würde ich als Bedingung aufstellen:

AB oder BA

Beweis, dass meine Bedingung hinreichend ist:

Annahme: ohne Einschränkung soll gelten AB

Nun möchte ich zeigen, dass P(AB)=P(A)P(B) gilt.
Weil AB ist, gilt AB=B
Daraus folgt: P(AB)=P(B)

Wegen AB sind alle Teilmengen von A auch Teilmengen von B. Das bedeutet, dass
P(A)P(B) gelten muss und somit wiederum gilt:

P(A)P(B)=P(B).

Weil P(AB)=P(B) und P(A)P(B)=P(B) folgt P(AB)=P(A)P(B).

Damit ist die Bedingung AB oder BA hinreichend, um die Gleichung zu erfüllen.


Auch hier gäbe es wahrscheinlich viel leichtere Methoden um das zu beweisen.
Leider bin ich noch sehr unbeholfen und bin mir selbst in meiner Ausführung immer unsicher. Ich hoffe, dass sich das mit der Zeit verbessert.


Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

17:41 Uhr, 29.10.2024

Antworten
Hallo,

d) kann man so machen.

> Auch hier gäbe es wahrscheinlich viel leichtere Methoden um das zu beweisen.

Das würde ich pauschal nicht so sagen.
Ja, in diesem Fall ist sicher Kontraposition etwas kürzer. Kontraposition ist folgende zu AB (A,B Aussagen) äquivalente Implikation: ¬B¬A. ("¬" ist der Negierungsoperator.)

In diesem Falle ginge es also um folgende Aussage:
Aus P(A)P(B)P(AB) folgt: Weder AB noch BA gilt.

Wegen P(A)P(B)P(AB) heißt P(A)P(B)P(AB), dass es eine Teilmenge XAB gibt mit X/A und X/B.
Somit muss X mindestens ein Element a enthalten, sodass aX\B gilt (sonst wäre eben doch XB). Also gilt aXAB, aber xB, ergo folgt A/B.
Analog muss es ein bX\A geben, woraus wie oben B/A folgt.

Mfg Michael
Frage beantwortet
Sophia77

Sophia77 aktiv_icon

18:34 Uhr, 29.10.2024

Antworten
Ach super, das ist natürlich schöner wie du das gemacht hast! Dankeschön! Das wäre mir so nicht eingefallen! :-)

Ich bedanke mich recht herzlich an alle die mir geholfen haben! Ihr seid einmalig! :-)