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Beweise

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Tags: Beweis

Sophia77 aktiv_icon

13:28 Uhr, 29.10.2024

Hallo, ich habe mit meinem Lehramtstudium Mathe begonnen und bin mir vor allem jetzt am Anfang noch sehr unsicher, ob das, was ich mache überhaupt richtig ist und ich es richtig verstanden habe.

Für jede Hilfe bzw. Verbesserungsvorschläge bei nachfolgenden Aufgaben wäre ich sehr dankbar. Ich bekomme keine Punkte oder Note darauf. Das dient rein zur Übung für mich.

(a)

Beweise die Mengengleichung

M \cap N = P

für

M = {(x, y, z) \in ℝ^{3} | x - 2 y + 3 z = 1}, N = {(x, y, z) \in ℝ^{3} | 2 x + y + z = 2}, P = {(1 - λ, λ, λ) | λ \in ℝ}

(b)

In den folgenden Aufgabenteilen sind

A, B

und

C

beliebgie Mengen.
Beweise die Gleichung

A \ (B \ C) = (A \ B) \cup (A \cap C)

(c)

Zeige, dass die Gleichung

P (A \ B) = P (A) \ P (B)

nicht erfüllt ist.

(d)

Welche Bedingung müssen die Mengen A und

B

erfüllen, damit

P (A \cup B) = P (A) \cup P (P)

gültig ist? Weise nach, dass die angegebene Bedingung hinreichend ist.

(e)

Beweise die Äquivalenz

A \subseteq B \Leftrightarrow P (A) \subseteq P (B)

Mein Vorschlag zu

(a) :

1. Man bestimmt die Schnittmenge

M \cap N

indem man folgendes Gleichungssystem löst:

I.

x - 2 y + 3 z = 1

II.

2 x + y + z = 2

Ich multipliziere die Gleichung I mit

2,

sodass folgt I.'

2 x - 4 y + 6 z = 2

Anschließend rechne ich I.'-II:

- 5 y + 5 z = 0

Aufgelöst

y = z

Nun setzze ich

y = z

in II ein:

2 x + z + z = 2

aufgelöst:

x = 1 - z

und somit auch

x = 1 - y

2. Ausdrücke in abhängigkeit von

z

x = 1 - z

y = z

z = z

3. Parametrische Darstellung
Ich setzte

z = λ

Daraus ergibt sich:

x = 1 - λ

y = λ

z = λ

Somit gilt

(x, y, z) = (1 - λ, λ, λ)

für

λ \in ℝ

(b)

Zu beweisen ist:

A \ (B \ C) = (A \ B) \cup (A \cap C)

Kann bewiesen werden, indem gezeigt wird, dass gilt:
1.Inklusion:

A \ (B \ C) \subseteq (A \ B) \cup (A \cap C)

2. Inkusion:

(A \ B) \cup (A \cap C) \subseteq A \ (B \ C)

1.Inklusion:

A \ (B \ C) \subseteq (A \ B) \cup (A \cap C)

Für ein beliebiges Element

x \in A \ (B \ C)

gilt, dass

x \in A

und

x \notin B \ C

.

Da

x \notin B \ C

gilt, folgt

x \notin B

oder

x \in C

.

1. Fall:

x \notin B

Hier gilt, dass

x \in A \ B

und deshalb folgt daraus, dass

x \in (A \ B) \cup (A \cap C)

.

2. Fall:

x \in C :

x \in A

und

x \in C

gilt, folgt daraus

x \in A \cap C

. Somit gilt:

x \in (A \ B) \cup (A \cap C)

Für beide Fälle gilt also

x \in (A \ B) \cup (A \cap C)

und somit folgt daraus:

A \ (B \ C) \subseteq (A \ B) \cup (A \cap C)

2. Inklusion:

(A \ B) \cup (A \cap C) \subseteq A \ (B \ C)

Für

x \in (A \ B) \cup (A \cap C)

gilt entweder

x \in A \ B

oder

x \in A \cap C

.

1. Fall:

x \in A \ B

Hier gilt

x \in A

und

x \notin B

. Weil

x \notin B

gilt

x \notin B \ C

.
Daher folgt daraus

x \in A \ (B \ C)

.

2. Fall:

x \in A \cap C

Hier gilt

x \in A

und

x \in C

. Weil

x \in C

gilt

x \notin B \ C

. Daher folgt daraus

x \in A \ (B \ C)

.

Für beide Fälle gilt

x \in A \ (B \ C),

sodass gezeigt ist, dass

(A \ B) \cup (A \cap C) \subseteq A \ (B \ C)

gilt.

Da beide Inklusionen als gültig bewiesen wurden, wurde bewiesen, dass die beiden Mengen

A \ (B \ C)

und

(A \ B) \cup (A \cap C)

gleich sind.

(c)

Zu zeigen ist:

P (A \ B) = P (A) \ P (B)

nicht erfüllt ist.

Aufgrund des Operators "zeigen2 gehe ich davon aus, dass ein Gegenbeispiel reicht, um die Ungültigkeit der Gleichung zu zeigen.

Gegenbeispiel:

P (A) = 0,7, P (B) = 0,2, P (A \cap B) = 0,3

P (A \ B) = P (A) \ P (B)

P (A) - P (A \cap B) = P (A) s e t i min u s P (B)

0,7 - 0,3 = 0,7 - 0,2

0,4 = 0,5

(falsche Aussage)

Das Gegenbeispiel zeigt, dass die Gleichung nicht gilt.

(d)

Welche Bedingungen müssen A und

B

erfüllen, damit gilt:

P (A \cup B) = P (A) \cup P (B)

P (A \cup B) =

"Wahrscheinlichkeit, dass entweder A oder

B

oder beide eintreten".

Es gilt:

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)

Damit die Gleichung

P (A \cup B) = P (A) \cup P (B)

gilt, muss

P (A \cap B) = 0

sein

Das bedeutet, dass A und

B

unvereinbar (disjunkt) sein müssen.

Bedingung ist folgich:

A \cap B = \emptyset

Nachweisen, dass meine Bedingung hinreichend ist:

Wenn

A \cap B = \emptyset

gilt, dann gilt

P (A \cap B) = 0

Daraus folgt:

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - 0

P (A \cup B) = P (A) + P (B)

Die Bedingung ist folglich hinreichend.

(d)

Beweis der Äquivalenz

A \subseteq B \Leftrightarrow P (A) \subseteq P (B)

1. Implikation:

A \subseteq B \Rightarrow P (A) \subseteq P (B)

Wenn

A \subseteq B

gilt, dann ist jedes

x \in A

auch ein Element von

B

Wenn ein beliebiges

Y \in P (A)

ist, dann ist

Y

eine Teilmenge von

A : Y \subseteq A

Weil

Y \subseteq A

und

A \subseteq B

folgt wegen der Transitivität der Teilmengenbeziehungne:

Y \subseteq B

Folglich ist

Y

auch Element von

P (B)

.

2. Implikation:

P (A) \subseteq P (B) \Rightarrow A \subseteq B

Weil

A \in p (A)

folgt aus der Annahme

P (A) \subseteq P (B),

dass

A \in P (B)

gilt.

Wenn

A \in P (B),

gilt

A \subseteq B,

weil

B \in P (B)

. Damit ist gezeigt, dass

P (A) \subseteq P (B) \Rightarrow A \subseteq B

gilt.

Da beide Implikationen bewiesen sind, folgt dass die Äquivalenz

A \subseteq B \Leftrightarrow P (A) \subseteq P (B)

ebenso bewiesen ist.

Das wäre mein Lösungsvorschlag.

Für jede Hilfe bin ich euch sehr dankbar!

Liebe Grüße
Sophia

< 3

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

michaL aktiv_icon

13:40 Uhr, 29.10.2024

Hallo,

ich habe nun nur nach a) geschaut.
Dabei ist mir aufgefallen, dass du nicht "

=

" gezeigt hast, sondern nur "

\subseteq

".
Du müsstest noch zeigen (das ist übrigens der einfachere Teil, dass alle Elemente aus

P

jeweils Elemente von

M

und

N

sind, d.h. diese Elemente die Gleichungen der Elemente in

M

bzw.

N

erfüllen.

Mfg Michael

Sophia77 aktiv_icon

13:46 Uhr, 29.10.2024

Stimmt! Da hast du vollkommen Recht! Das habe ich total übersehen.
Ich mache mich gleich daran!

Dankeschön!

Kann ich dabei dann so vorgehen?

Aus meiner vorherigen Lösung

(x, y, z) = (1 - λ, λ, λ)

mit

z = λ

ergibt sich, dass

M \cap N \subseteq P

gilt.

Jedoch muss ich nun auch zeigen, dass jedes Element in

P \in M \cap N

ist.

Wenn

(x, y, z) = (1 - λ, λ, λ)

ein beliebiges Element aus

P

ist, dann gilt:

x - 2 y + 3 z = (1 - λ) - 2 λ + 3 λ = 1

Somit gilt

(x, y, z) \in M

(Ich setze hier einfach

x = 1 - λ, y = λ

und

z = λ

in die Gleichungen ein)

Außerdem gilt für

(x, y, z) = (1 - λ, λ, λ) :

2 x + y + z = 2 \cdot (1 - λ) + λ + λ = 2

. Daraus folgt

(x, y, z) \in N

Damit gilt:

P \subseteq M \cap N

.

Weil

M \cap N \subseteq P

und

P \subseteq M \cap N

gilt, folgt

M \cap N = P

HAL9000

13:57 Uhr, 29.10.2024

Was (c)(d)(e) betrifft:

M.E. befindest du dich da gewaltig auf dem Holzweg, was die Deutung von

P

betrifft: Das ist hier gewiss kein Wahrscheinlichkeitsmaß, woher auch! Ich tippe mal drauf, dass damit hier "Potenzmenge" gemeint ist.

Sophia77 aktiv_icon

13:58 Uhr, 29.10.2024

Achso

: (

Somit sind die ganzen Beweise ja auch falsch

: (

Dann werde ich das nochmal überarbeiten! Dankeschön für den Hinweis

: (

Da bin ich noch zu sehr in der Schulmathematik. Doof, dass ich Potenzmenge einfach mit Wahrscheinlichkeit verwechselt habe.

Stimmt der Beweis für

(a)

und

(b)

?

So noch einmal von neu:

(c)

Ich würde hier auch mit einem Gegenbeispiel arbeiten.

Sei

A = {1,2}

und

B = {2}

Dann gilt:

A \ B = {1}

P (A)

ist die Potenzmenge von

A,

also gilt

P (A) = {\emptyset, {1}, {2}, {1,2}}

P (B)

ist die Potenzmenge von

B,

also gilt

P (B) = {\emptyset, {2}}

P (A \ B) = {\emptyset, {1}}

P (A) \ P (B)

bedeutet, dass alle Elemente von

P (A),

die nicht in

P (B)

enthalten sind, betrachtet werden sollen

P (A) \ P (B) = {{1}, {1,2}}

Weil

P (A \ B) = {\emptyset, {1}}

und

P (A) \ P (B) = {{1}, {1,2}}

gilt, ist gezeigt, dass

P (A \ B) \neq P (A) \ P (B)

.

Würde das soweit stimmen?

HAL9000

14:19 Uhr, 29.10.2024

Ja, a) ist nun in Ordnung, durch die nachgelieferte "Probe" (so würde ich das mal nennen).

b) ist auch in Ordnung, wenn man das über einen solchen elementweisen Beweis machen will.

Wie so oft ist die Frage, was man schon an Mengenbeziehungen nutzen darf: Kennt man schon

A \ B = A \cap B^{c}

(mit Komplementbildung bzgl. einer gemeinsamen Obermenge) sowie die deMorganschen Regeln für Mengen, so könnte der Beweis auch einfach so aussehen:

A \ (B \ C) = A \cap {(B \cap C^{c})}^{c} = A \cap (B^{c} \cup C) = (A \cap B^{c}) \cup (A \cap C) = (A \ B) \cup (A \cap C)

Sophia77 aktiv_icon

14:21 Uhr, 29.10.2024

Ah das ist ja interessant, das kenne ich noch nicht!
Aber wirkt total toll und viel einfacher.

Mit deinem tollen Beweis werde ich mich dann am Wochenende beschäftigen! Dankeschön! :-)

Dankeschön, dass du dein Wissen mit mir teilst!

Sophia77 aktiv_icon

14:23 Uhr, 29.10.2024

Entschuldigt, da habe ich ein Durcheinander ausgelöst, indem ich meinenn alten Beitrag geändert habe!

Ich führe deshalb nocheinmal meinen neuen Lösungsversuch für

c

ausgehend davon, dass

P

eine Potenzmenge meint, an:

(c)

Ich würde hier auch mit einem Gegenbeispiel arbeiten.

Sei

A = {1,2}

und

B = {2}

Dann gilt:

A \ B = {1}

P (A)

ist die Potenzmenge von

A,

also gilt P(A)=

{

∅,{1},{2},{1,2}}

P (B)

ist die Potenzmenge von

B,

also gilt P(B)=

{

∅,{2}}

P (A \

B)=

{

∅,{1}}

P (A) \ P (B)

bedeutet, dass alle Elemente von

P (A),

die nicht in

P (B)

enthalten sind, betrachtet werden sollen

P (A) \ P (B) = {{1}, {1,2}}

Weil P(A\B)=

{

∅,{1}} und

P (A) \ P (B) = {{1}, {1,2}}

gilt, ist gezeigt, dass

P(A\B)≠P(A)\setminus

P (B)

.

Würde das soweit stimmen?

HAL9000

14:30 Uhr, 29.10.2024

Die Formulierung bei (c) mit diesem "Gleichung falsch" ist etwas missdeutbar. Ich habe sie (strenger als du) so gedeutet, dass man zeigen soll, dass diese Gleichung niemals erfüllt ist - was sich aber auch problemlos nachweisen lässt:

Die leere Menge

\emptyset

ist in allen Potenzmengen enthalten, also auch in

P (A \ B)

P (A)

und

P (B)

, damit aber nicht in

P (A) \ P (B)

- fertig.

Sophia77 aktiv_icon

14:37 Uhr, 29.10.2024

Ach super! Danke dir! So ist das natürlich viel besser! Ich denke viel zu komplex oder "seltsam". Danke dir vielmals :-)

Ich würde den Thread (oder wie man dazu sagt) noch offen lassen, da ich gerne noch später meine Lösungsversuche für

(d)

und

(e)

hochladen würde.

Sophia77 aktiv_icon

16:23 Uhr, 29.10.2024

Nun habe ich mich mit der Frage

(d)

beschäftigt.

(d)

Welche Bedingung müssen die Mengen A und

B

erfüllen, damit P(A∪B)=P(A)∪P(P) gültig ist? Weise nach, dass die angegebene Bedingung hinreichend ist.

DAmit die Gleichung

P (A \cup B) = P (A) \cup P (B)

erfüllt ist, müssen die Mengen A und

B

so sein, dass jede Teilmenge von

A \cup B

entweder eine Teilmenge von A oder eine Teilmenge von

B

ist.
Das wäre ja dann nur der Fall, wenn eine der Mengen A oder

B

eine Teilmenge von der anderen Menge ist, oder?

Daher würde ich als Bedingung aufstellen:

A \subseteq B

oder

B \subseteq A

Beweis, dass meine Bedingung hinreichend ist:

Annahme: ohne Einschränkung soll gelten

A \subseteq B

Nun möchte ich zeigen, dass

P (A \cup B) = P (A) \cup P (B)

gilt.
Weil

A \subseteq B

ist, gilt

A \cup B = B

Daraus folgt:

P (A \cup B) = P (B)

Wegen

A \subseteq B

sind alle Teilmengen von A auch Teilmengen von B. Das bedeutet, dass

P (A) \subseteq P (B)

gelten muss und somit wiederum gilt:

P (A) \cup P (B) = P (B)

.

Weil

P (A \cup B) = P (B)

und

P (A) \cup P (B) = P (B)

folgt

P (A \cup B) = P (A) \cup P (B)

.

Damit ist die Bedingung

A \subseteq B

oder

B \subseteq A

hinreichend, um die Gleichung zu erfüllen.

Auch hier gäbe es wahrscheinlich viel leichtere Methoden um das zu beweisen.
Leider bin ich noch sehr unbeholfen und bin mir selbst in meiner Ausführung immer unsicher. Ich hoffe, dass sich das mit der Zeit verbessert.

michaL aktiv_icon

17:41 Uhr, 29.10.2024

Hallo,

d) kann man so machen.

> Auch hier gäbe es wahrscheinlich viel leichtere Methoden um das zu beweisen.

Das würde ich pauschal nicht so sagen.
Ja, in diesem Fall ist sicher Kontraposition etwas kürzer. Kontraposition ist folgende zu

A \Rightarrow B

(

A, B

Aussagen) äquivalente Implikation:

\neg B \Rightarrow \neg A

. ("

\neg

" ist der Negierungsoperator.)

In diesem Falle ginge es also um folgende Aussage:
Aus

P (A) \cup P (B) \neq P (A \cup B)

folgt: Weder

A \subseteq B

noch

B \subseteq A

gilt.

Wegen

P (A) \cup P (B) \subseteq P (A \cup B)

heißt

P (A) \cup P (B) \neq P (A \cup B)

, dass es eine Teilmenge

X \subseteq A \cup B

gibt mit

X \subseteq / A

und

X \subseteq / B

.
Somit muss

X

mindestens ein Element

a

enthalten, sodass

a \in X \ B

gilt (sonst wäre eben doch

X \subseteq B

). Also gilt

a \in X \subseteq A \cup B

, aber

x \notin B

, ergo folgt

A \subseteq / B

.
Analog muss es ein

b \in X \ A

geben, woraus wie oben

B \subseteq / A

folgt.

Mfg Michael

Sophia77 aktiv_icon

18:34 Uhr, 29.10.2024

Ach super, das ist natürlich schöner wie du das gemacht hast! Dankeschön! Das wäre mir so nicht eingefallen! :-)

Ich bedanke mich recht herzlich an alle die mir geholfen haben! Ihr seid einmalig! :-)

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