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Beweise: n + m = m +n , mit n Element der N

Schüler Sonstige,

Tags: Beweis, direkt

 
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Florean

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10:23 Uhr, 03.10.2015

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Hey Leute,

folgendes können wir freiwillig beweisen. Zudem ist dies mein aller erster Beweis :-)

Beweise:
Für n+m=m+n, mit n Element der natürlichen Zahlen.

Aussage für das erste Element:
1+m=m+1
Aus Peano (iii) folgt, n,m sind Element der natürlichen Zahlen und
n=m, also ist 1+1=1+1⇒2=2.

Behauptung:
Wenn dies für n gilt, dann auch für n+1.
(1+m)'=(m+1)'
1+m'=1+m'
Peano (ii) besagt, für kein Element von n Element der natürlichen Zahlen gilt: n'=1.
Aus Peano (iii) folgt n'=m' folgt. Aus Peano (iv), dass m' ebenfalls Element der natürlichen Zahlen ist da dies auch für n' Element der natürlichen Zahlen gilt.
Somit folgt: 1+m+m=m+m+1, da m' der Nachfolger von m ist.

q.e.d. (???)

Ich hoffe ihr könnt mir Tipps für das Beweisen geben. Ehrlich gesagt bin ich mir nicht sicher ob mein Beweis stimmt, dafür habe ich noch nicht das gewisse Etwas.

Viele Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Online-Nachhilfe in Mathematik
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ledum

ledum aktiv_icon

23:13 Uhr, 03.10.2015

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Hallo
da die Peano axiome verschieden Nummeriert sind was ist bei euch Peano ii? das Kommutativgesetz 1+n=n+1?
den zweiten Teil verstehe ich nicht, wieso plötzlech m+m statt n?
kannst du es für n=2,m=3z. b formulieren, wenn du es für n=1m=3 hast?
also aus 1+3=3+1 folgt 2+3=3+2
ich sehe das deinem Beweisgang nicht an.
Gruß ledum
Florean

Florean aktiv_icon

09:34 Uhr, 04.10.2015

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Entschuldige, die Peano Axiome sind:

(i) 1 Element der natürlichen Zahlen
(ii) für kein n Element der natürlichen Zahlen gilt: n'=1
(iii) Seien n,m Element der natürlichen Zahlen dann gilt: n'=m'⇒n=m
(iv) Sei n Element der natürlichen Zahlen dann gilt n' Element der natrülichen Zahlen
(v) Sei M eine Menge M mit 1 Element M und es gibt n Element der natürlichen Zahlen ⇒n' ist Element M dann gilt M= Natürliche Zahlen.
Antwort
Roman-22

Roman-22

11:25 Uhr, 04.10.2015

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@ledum: Nach meinem Wissensstand ist die Nummerierung der Peano-Axiome eindeutig und sie sind mir auch noch nie anders nummeriert untergekommen. Die Peano-Axiome definieren sicher auch nie n+1=1+n, wie du schreibst, da Formulierungen wie 1+n mangels Definition eine Additions-Operation nicht vorkommen können! Es gibt nur den Nachfolger-Begriff und der Nachfolger von n wird üblicherweise auch nicht n+1 geschrieben, sondern meist n' (oft auch σ(n) und auch das irreführende n+ oder einfach n+ hab ich da schon gesehen). Ein Additionsbegriff kann dann erst auf Basis der Peano-Axiome neu definiert werden.
Was bei Angabe der Peano-Axiomen unterschiedlich sein kann, ist, welches Element (als "erstes" Element) in den Axiomen I, III und V ausgezeichnet wird - nämlich 0 oder 1. Wie das Peano selbst gesehen hat ist heute noch nicht ganz gesichert, da die Dokumentenlage unklar und nicht eindeutig ist. Am ehesten geht man heute davon aus, dass Peano selbst anfangs bei 1 begonnen hat und später aber die Definition mit 0 als Beginn präferiert hat.

@Florean: Mit fehlt bei deiner Wiedergabe der Peano-Axiome explizit der Begriff "Nachfolger" - du verwendest lapidar n' ohne es zu benennen. Zu deinem Beweis: Bevor du die Kommutativität der Addition in ℕ zeigen kannst, musst du erstmal definieren, was denn "Addition" ist, was also ein Ausdruck wie m+n bedeuten soll. Das geschieht eben rekursiv über den Nachfolger-Begriff. Und mit dieser Definition kannst du dann auch erst einen Beweis antreten.
Wie Peano Addition und Multiplikation auf Basis seiner Axiome definiert hat, kannst du zB dem entsprechenden Wiki-Artikel entnehmen → de.wikipedia.org/wiki/Peano-Axiome.
Sollen die Peano-Axiome in der von dir gegebenen Fassung (mit 1 als ersten Element) ANwendung finden, so ist die Definition in dem Wiki-Artikel ein kleinwenig abzuändern in:

n+1:=n'
n+m':=(n+m)'

und die Defintion von 1:=0' entfällt natürlich.

Erst ab dieser Definition darfst du forthin anstelle von n' auch n+1 schreiben - nicht aber 1+n, denn die Kommutativität sollst du ja erst noch beweisen.

Beweise auf Basis der Peano-Axiome erfolgen idR mithilfe des fünten Axioms durch vollständige Induktion. Das fünfte Axiom nennt man ja auch nicht ohne Grund auch das Induktionsaxiom.

Wenn du nicht weiter kommst - eine Reihe von Beweisen findest du zB hier → matheplanet.com/default3.html?call=article.php?sid=316

R
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