 |
 |
 |
 |
 |
 |
Startseite » Forum » Beweise zu Gruppen/Untergruppen (leider englisch)
Beweise zu Gruppen/Untergruppen (leider englisch)
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Tags: Beweis, endlich, Gruppen, Untergruppen
 
|
  |
|---|
|
Hallo, Ich bin gerade im Auslandssemester, habe hier das Fach Algebra belegt und bin leider schon mit den ersten Übungen völlig überfordert:( ich habe ein Foro von drei der Aufgaben die ich nicht kann angefügt, wenn jemand sowas schon mal gesehen hat oder auch nur Ideen dazu aufbringen kann wäre ich schon überglücklich.. Danke im Voraus! ZweiundZwanzig  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: |
|
 |
|
3. Die Schnittmenge von zwei Untergruppen ist wieder eine Untergruppe. Das ist ein einfacher Standardbeweis, den man ohne Probleme nach kurzer Suche finden kann, wenn man ihn selbst nicht hinbekommen sollte, oder wenn man unsicher sein sollte. Siehe beispielsweise: de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Elementare_Gruppentheorie:_Untergruppen_und_Nebenklassen#Schnitte_von_Untergruppen Sei eine Gruppe der Ordnung . Du sollst zeigen, dass es dann mindestens ein Element gibt, so dass nicht in einer Untergruppe mit Ordnung 7 liegt. Dazu der Hinweis: Wenn und zwei verschiedene Untergruppen der Ordnung 7 sind. Was gilt dann für ? Dazu mein Hinweis: Begründe, dass dann ist. Angenommen jedes Element von wäre in einer Untergruppe mit Ordnung 7 enthalten. Was für Zahlen sind dann nur für die Ordnung von möglich? Ohne den Hinweis hätte ich einfach gesagt, dass die Primzahl 5 ein Teiler von ist, es also nach Satz von Cauchy ein Element mit Ordnung gibt. Solch ein Element mit Ordnung 5 kann dann nach Satz von Lagrange nicht in einer Untergruppe der Ordnung 7 enthalten sein. 4. Sei eine Gruppe und . Außerdem soll es mit und geben. Es soll gezeigt werden, dass dann endliche Ordnung hat und gilt. Multipliziert man mit dem Inversen von erhält man wobei das neutrale Element der Gruppe sei. Bekommst du den Rest damit hin? 5. Man soll eine unendliche Untergruppe von finden, so dass jedes Element der Untergruppe endliche Ordnung hat. (Dabei ist die Gruppe der komplexen Zahlen ohne 0 mit der üblichen Multiplikation ist.) Hier sollte man sich zunächst überlegen, welche Elemente in endliche Ordnung haben. Dies sind die Elemente mit für ein also die Einheitswurzeln. Zu einer Zahl sind für die n-ten Einheitswurzeln. Bekommst du den Rest damit hin? |
 |
|
Oje, vielen Dank schonmal. Ich bin erst im 3. Semester und hab das Gefuehl mir fehlen die kompletten Grundlagen um das zu verstehen. hab ich jetzt fertig, danke! Ich hatte bis vor einer woche noch nie was von gruppen gehoert, warum ist denn die Schnittmenge von und jetzt unbedingt 1? Weil die "distinct" sind? Im Internet kommt auch immer nur Satz von Cauchy, nur dass ich den halt nicht verwenden kann wenn wir ihn noch nicht besprochen haben:( "Angenommen jedes Element von wäre in einer Untergruppe mit Ordnung 7 enthalten. Was für Zahlen sind dann nur für die Ordnung von möglich?" keine ahnung.. bisher haben wir nur satz von langrange besprochen, der sagt dazu ja eher nichts.. Das gleiche hier, ich weiss nicht mal was mir der tipp bringen soll, ogott ich verzweifle grad:/ Einheitsgruppen muss ich auch erst noch googlen, aber ich denk diesen Aufgabenteil hab ich schon komplett aufgegeben. |
|
|
|
3. Das könnte man evtl. auch etwas kürzer und einfacher aufschreiben als ich das machen werde. Aber ich möchte, dass jeder Schritt möglichst nachvollziehbar ist. Außerdem weiß ich leider nicht, was ihr bereits alles gezeigt habt, also was ich voraussetzen darf und was nicht. "distinct" heißt nur "verschieden", also dass sein soll. Wichtig ist hier, dass 7 eine Primzahl ist. Seien und Untergruppen von mit und und . Dann ist nach Teilaufgabe eine Untergruppe von also insbesondere eine Gruppe. Wegen ist dann auch eine Untergruppe von H. Nach Satz von Lagrange ist also ein Teiler von also ein Teiler von 7. Da 7 eine Primzahl ist, sind 1 und 7 die einzigen natürlichen Zahlen, welche 7 teilen. Demnach ist also oder . Jedoch ist nicht möglich. Denn dann würde wegen und folgen, dass wäre, weshalb wäre. Wegen und würde dann folgen, was im Widerspruch zur Voraussetzung wäre. Also muss dann sein, so dass nur aus dem neutralen Element besteht. Angenommen jedes Element wäre in einer Untergruppe der Ordnung 7 von enthalten. Dann könnte man als Vereinigung von Untergruppen der Ordnung 7 schreiben. Es würde also ein und paarweise verschiedene Untergruppen von mit geben. Wie zuvor gezeigt, hätten dann paarweise trivialen Schnitt. Das heißt für ist bzw. . In jeder der Untergruppen liegen demnach neben dem neutralen Element noch 6 weitere Elemente welche in keiner der anderen Untergruppen liegen. Demnach erhält man: Demnach müsste sein, was jedoch im Widerspruch dazu ist, dass nicht durch 6 teilbar ist. Also muss die Annahme, dass jedes Element in einer Untergruppe der Ordnung 7 von enthalten wäre, falsch gewesen sein. \\\\ 4. Nach meinem Hinweis ist man eigentlich schon fertig. Man hat mit und . Durch Multiplikation mit erhält man . Also hat man eine Zahl mit gefunden, nämlich . Die Ordnung von ist nun die kleinste Zahl mit dieser Eigenschaft. Wenn schon minimal ist, so ist . Wenn noch nicht minimal ist ist . In jedem Fall ist . Wegen ist dann die Ordnung von insbesondere endlich. Ich habe aus Gewohnheit statt für die Ordnung des Gruppenelements geschrieben. Ich hoffe das stört diech nicht weiter. Man könnte sogar noch mehr zeigen, nämlich dass nicht nur sein muss, sondern dass sogar ein Teiler von sein muss. Dies folgert man dann üblicherweise aus dem Satz von Lagrange. \\\\ 5. Hier lasse ich dich nochmal etwas selbst arbeiten. Ich leiste jedoch schon etwas Vorarbeit. Betrachte die Untergruppe von . Du musst natürlich noch zeigen, dass tatsächlich eine Untergruppe von ist. Betrachte nun die Teilmenge von U. Wegen ist auch . Du musst natürlich noch zeigen, dass ist. Dazu würde ich zeigen, dass jeweils nicht in enthalten ist. Wegen ist jeweils . |
1388780
1388562