Beweise zum limes

Hallo!

Ich muss drei Aussagen beweisen und ich bin mir bei keiner so wirklich sicher.

ZZ: Ist lim(x-> c) f(x) = oo, so ist lim(x->c) (1 / f(x)) = 0

Beweis: Zu jeder noch so großen reellen Zahl T>0 existiert ein d>0, sodass für beliebige x der Definitionsmenge von f mit der Bedingung 0<|x-c|<d auch f(x)>T erfüllt ist. Betrachtet man nun g(x)= 1/ f(x) für x -> c, so folgt aus f(x) > T, dass g(x)= 1/ f(x) < T=epsilon.

Es gibt also zu jedem beliebig kleinen epsilon > 0 ein d>0, sodass für alle x in D von g mit der Bedingung |x-c|<d auch |g(x)-g(c)|<epsilon gilt <=> g ist stetig .

Nun muss ich aber das Folgenkriterium verwenden. Ich weiß:

Für jede Folge x(n) -> c gilt 1 / f(x) -> 1 / f(c).

... ich weiß nicht, was das Folgenkriterium hier zu suchen hat. Wie beweise ich die Aussage mit dem Folgenkriterium?

ZZ: Ist lim(x -> c) f(x) = 0 und existiert s>0 mit f(x)>0 für alle x in [c-s;c+s] geschnitten mit D, so ist lim (x->c ) (1 / f(x)) = oo

Beweis: Es existiert zu jedem epsilon > 0 ein d >0, sodass für alle x in D mit der Bedingung 0<|x-c|<d auch |f(x)-L|<epsilon gilt, wobei L der Limes von f für x->c sei. Da lim (x-> c) = 0 folgt, dass 0<|f(x)|<epsilon für ein belibig kleines epsilon. Für die Funktion 1/ f(x) gibt es also ein beliebig großes T in R, zu welcher es ein s>0 mit f(x) >0 gibt, sodass 1/f(x) >0.

Für x in [c-s, c+s] geschnitten mit D ist (1 / f(x)) > T erfüllt. Also ist lim (x->c ) (1 / f(x)) := oo.

ZZ: lim (x-> oo) a_k* (x^k)+ a_(k-1)* x^(k-1) ... a_0 = oo, falls k>= 1 und a_k>0

Beweis:

lim (x -> oo) x^k(a_k + (a^(k-1))/ x) .... (a_0/x^k)= a_k

lim (x-> oo) x^k := oo

Also ist lim (x -> oo) x^k(a_k + (a^(k-1))/ x) .... (a_0/x^k)= a_k unendlich, was zu zeigen war.

Unser Tutor meinte aber irgendwas mit dem delta-epsilon-Kriterium und ich weoß nicht, wie ich das hier unterbringen soll...?

Würde mir bitte jemand helfen und drüberschauen und korrigieren und Tipps geben? Vielen lieben Dank!

Maria

Hallo!

Ich bin leider immer noch nicht weiter ;-)

Würde mir bitte jemand, vielleicht auch nur mit einer Aufgabe, weiterhelfen?

LG

Anbei ein Bild mit Beweisvorschlag!

Danke!