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Beweisen, dass Q dicht in R liegt

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Elementare Zahlentheorie

Tags: Beweis, Beweisführung, Beweistechniken, Elementare Zahlentheorie, Rationale Zahlen, Reele Zahlen, Sonstig

birdbox

20:29 Uhr, 23.04.2016

Hallo, ich hab hier wieder mal eine Aufgabe, wo ich nicht wirklich weiß wie ich anfangen soll, freue mich über jede Idee und jeden Tipp:

Es sei

n \in ℕ

beliebig (gedacht: beliebig groß). Zeigen Sie, dass es zu jeder reellen Zahl

x \in ℝ

eine Rationale Zahl

q \in ℚ

gibt, mit

∣ x - q ∣ < 2^{- n}

. (Mit anderen Worten, beweisen Sie, dass

ℚ

dicht in

ℝ

liegt.)
Welche Beweistechnik(en) haben Sie angewandt?

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

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20:32 Uhr, 23.04.2016

Das hängt davon ab, wie reelle Zahlen definiert wurden.

birdbox

20:41 Uhr, 23.04.2016

Hmm, also wirklich definiert haben wir die nicht, die rationalen Zahlen haben wir definiert.
Allerdings haben wir 2 Theorems:

"The exists a rational number between any two distinct rational numbers."

"

ℚ

is everywhere dense in

ℝ

. That is, for every

x \in ℝ

, every arbitrarily small neighborhood of x contains a rational number."

Also das 2te Theorem sagt ja schon aus, das Q dicht in R liegt, aber ich brauch halt den Beweis.

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20:45 Uhr, 23.04.2016

Das Problem ist, dass man reelle Zahlen auf unterschiedliche Weise definieren kann. Zwar sind Definitionen äquivalent, aber das ist nicht einfach zu zeigen. Und der Beweis hängt entscheidend von der Definition ab. Also, ohne Definition geht nichts.

birdbox

20:57 Uhr, 23.04.2016

Hmm, das ist blöd, also ich schau grad die ganze Zeit das Skript durch, aber da steht nicht viel von den reellen Zahlen, es steht noch:

"The reals comprise both rational and irrational numbers like

\sqrt{2}

π

."

"The real numbers are uncountable, i.e., there exists no bijection from N onto R."

Dann noch der Beweis von Cantor(1891) und dann noch die Definition von Dezimaldarstellung und periodische Dezimalzahl und:

"A real number has a finite or recurring decimal representation if and only if it is a rational number"

So und was machen wir jetzt??? :-(

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21:14 Uhr, 23.04.2016

"noch die Definition von Dezimaldarstellung"

Vielleicht hilft das. Was steht da genau?

birdbox

21:24 Uhr, 23.04.2016

A real number

x \in ℝ

is in decimal representation (or a decimal number) if it is represented as a sum of powers of ten:

\begin{array}{rcl} x = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{x_{i}}{1 0^{i}} \end{array}

with an integer part

x_{0} \in ℤ

and with

0 \leq x_{i} \leq 9

for all

i \in ℕ

.

The decimal representation is finite if, for some

\bar{n} \in ℕ

, we have

x_{i} = 0

for all

i \geq \bar{n}

.

By definition,

\begin{array}{rcl} x = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 0}^{n} \frac{x_{i}}{1 0^{i}} \end{array}

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21:30 Uhr, 23.04.2016

Nun, wenn Du das nutzen darfst, dann ist der Beweis einfach.
Für eine Zahl

\sum_{i = 0}^{\infty} \frac{x_{i}}{1 0^{i}}

mit

0 \leq x_{i} \leq 9

gilt

∣ \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{x_{i}}{1 0^{i}} - \sum_{i = 0}^{n} \frac{x_{i}}{1 0^{i}} ∣ = \sum_{i = n + 1}^{\infty} \frac{x_{i}}{1 0^{i}} \leq 1 0^{- n} < 2^{- n}

und

\sum_{i = 0}^{n} \frac{x_{i}}{1 0^{i}}

ist die gesuchte rationale Zahl

q

birdbox

21:34 Uhr, 23.04.2016

Hey vielen Dank, also das darf ich sicherlich nutzen, aber das musst du mir jetzt ein bisschen genauer erklären :-)

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21:37 Uhr, 23.04.2016

Nein, muss ich nicht. :-)

birdbox

21:45 Uhr, 23.04.2016

Da hast du natürlich recht, trotzdem noch kurz eine Frage: also wenn du

∣ x - q ∣

machst, dann kommst du auf

\begin{array}{rcl} \sum_{i = n + 1}^{\infty} \frac{x_{i}}{1 0^{i}} \end{array}

Könntest du mir das evtl. kurz erklären und wie du das abschätzt, dass es

\leq 1 0^{- n}

ist?

LG

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21:55 Uhr, 23.04.2016

Was erklären? Dass

\sum_{i = 0}^{\infty} \frac{x_{i}}{1 0^{i}} - \sum_{i = 0}^{n} \frac{x_{i}}{1 0^{i}} = \sum_{i = n + 1}^{\infty} \frac{x_{i}}{1 0^{i}}

? Echt? :-O

Die Abschätzung ist trivial, denn

\sum_{i = n + 1}^{\infty} \frac{x_{i}}{1 0^{i}}

ist nichts anderes, als die Zahl

0, 0 . . . 0 x_{n + 1} x_{n + 2} x_{n + 3} . . .

in der Dezimalschreibweise, mit

n

Nullen nach dem Komma. Diese Zahl ist klar kleiner als

0, 0 . . . 01

, mit

n - 1

Nullen nach dem Komma. Und das ist nichts anderes als

1 0^{- n}

birdbox

22:10 Uhr, 23.04.2016

Mir war die Indexverschiebung nicht ganz klar, aber ich habs mittlerweile schon verstanden :-D)
Die Abschätzung macht auch Sinn.

Ok doch noch was, sorry dass ich so nerve, aber, die Betragsstriche darfst du aus welchem Grund weglassen?

LG

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22:13 Uhr, 23.04.2016

"Ok doch noch was, sorry dass ich so nerve, aber, die Betragsstriche darfst du aus welchem Grund weglassen?"

Weil was drin steht, positiv ist, wegen

x_{i} \geq 0

birdbox

22:19 Uhr, 23.04.2016

Oh man, ja natürlich.

VIELEN Dank!!!

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