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Beweisen, dass eine Funkt. glatt ist.(Fallunters.)

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Differentialrechnung, Exponentialfunktion, Funktion

RM777 aktiv_icon

15:44 Uhr, 12.02.2019

Hallo ich habe Schwierigkeiten mit einer Aufgabe, ich sitze schon wirklich lange daran und ich erkenne einfach kein Muster. Mein Zeil ist es die

n

-te Ableitung zu bestimmen von der Funktion

f (x)

(s.u). Und dann zeigen, dass die Ableitung immer

= 0

ist an der Stelle 0.

Die Funktion lautet:

f (x) = e^{- \frac{1}{x}},

wenn

x > 0 \land f (x) = 0

wenn

x \leq 0

Hier sind meine bisherigen Gedanken zum Problem:

Ich hatte eine Idee, aber ich denke, es ist falsch. Ich habe gesagt, dass

e^{z}

glatt ist, weil die n-te Ableitung von

e^{z}

immer

e^{z}

ist und dann habe ich

z

durch

- \frac{1}{x}

ersetzt. Aber schon die Berechnung der ersten Ableitung zeigt mir, dass ich mich wahrscheinlich irre:

(e^{z})^{ʹ} = e^{z} = e^{- \frac{1}{x}}

$

Aber

(e^{z})^{ʹ} = (e^{- \frac{1}{x}})^{ʹ} = \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}}

$

Dann auch

e^{- \frac{1}{x}} = \frac{e^{- \frac{1}{x} x}}{x^{2}} \overset{}{\Leftrightarrow} 1 = \frac{1}{x^{2}}

$

Was nicht wahr ist.

Warum funktioniert die Substitution nicht?

Ich habe auch versucht, ein Muster in den Ableitungen zu sehen, um eine explizite Formel für die n-te Ableitung zu geben.
Verwendung der Produktformel zur Bestimmung der Ableitung:

(e^{- \frac{1}{x}})^{ʹ} = (e^{- \frac{1}{x}}) (- \frac{1}{x})^{ʹ}

Jetzt bilde ich die Ableitung

(e^{- \frac{1}{x}})^{ʹ} (- \frac{1}{x})^{ʹ} + (e^{- \frac{1}{x}}) (- \frac{1}{x})^{ʺ} = (e^{- \frac{1}{x}})^{ʹ} (- \frac{1}{x})^{ʹ} + (e^{- \frac{1}{x}}) (- \frac{2}{x^{3}}) = (e^{- \frac{1}{x}})^{ʹ} (- \frac{1}{x})^{ʹ} + (e^{- \frac{1}{x}}) (\frac{1}{x^{2}}) (- \frac{2}{x})

= (e^{- \frac{1}{x}})^{ʹ} (- \frac{1}{x})^{ʹ} + (e^{- \frac{1}{x}})^{ʹ} (- \frac{2}{x})

= (e^{- \frac{1}{x}})^{ʹ} ((- \frac{1}{x})^{ʹ} + (- \frac{2}{x})) \to . . .

Ich habe die Vermutung, dass die n-te Ableitung in einer rekursiven Form wie folgt geschrieben werden kann

(e^{- \frac{1}{x}})^{(n)}

Es ist die Ableitung nicht die n-te Potenz

= (e^{- \frac{1}{x}})^{(n - 1)} \cdot r

r

ist der Rest und ich versuche herauszufinden, wie es aussehen würde. Aus meinen bisherigen Beobachtungen vermute ich, dass es wie eine Summe aussieht

\sum_{k = 1}^{n} (

-1)^k\frac{n-k}{x^k}

Aber ich brauche etwas Hilfe, um es zu beweisen.

Meine bisherigen Versuche haben sich als nicht sehr fruchtbar erwiesen, deshalb bitte ich um eure Unterstützung.

Um zu zeigen, dass die Ableitung bei 0 verschwindet, muss ich zunächst herausfinden, wie die Ableitung für positive

x

aussieht. Dann wäre der Plan, zu zeigen, dass der Grenzwert sowohl von der linken als auch von der rechten Seite

0

ist.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Einführung Funktionen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

pwmeyer aktiv_icon

17:11 Uhr, 12.02.2019

Hallo,

es geht ja nur um die Differenzierbarkeit im Nullpunkt.

Für die Ableitungen

f^{(n)} (x)

für

x > 0

kannst Du induktiv zeigen, dass

f^{(n)} (x) = e x p (- \frac{1}{x}) \cdot P_{n} (\frac{1}{x})

wobeit

P_{n}

ein Polynom ist.

Dann kannst Du für die Berechnung von

f^{(n + 1)} (0)

den entsprechenden Differenzenquotienten aufstellen, dabei brauchst du nur ausnutzen, dass die Exp-Funktion bei

\infty

schneller wächst als jedes Polynom.

Gruß pwm

RM777 aktiv_icon

20:53 Uhr, 13.02.2019

Hallo motiviert durch deinen Ansatz, dass wir nicht wissen müssen wie genau die n-te Ableitung aussieht habe ich versucht die Aussage zu beweisen, dass eine

n

-te Ableitung existiert und dass alle Ableitungen auch in

x = 0

verschwinden. Könntest du bitte diesen Lösungsansatz beurteilen, ich bin mir bei einer Stelle unsicher, damit du weißt welche Stelle ich meine werde ich sie in dieser Form markieren:

*************************
(unsichere Stelle)
*************************

Also meine Überlegungen:

Ich weiß aus einem vorherigen Resultat schon, dass

lim_{x ↓ 0} x^{m} e^{}

-\frac{1}{x}}=0

g i l t u n d z w a r f ü r a l l e

m\in\mathbb{Z}

Zuerst schaut man sich die erste Ableitung an, die ist

e^{- \frac{1}{x}} / x^{2}

Dann macht man die Induktionshypothese, dass die

n

-te Ableitung der Funktion

f

beschrieben werden kann als:

e^{- \frac{1}{x}} P (x)

P (x)

noch allgemeiner ist als ein Polynom, es ist es eine endliche Summe, die man wie

\sum_{k = z}^{m} a_{k} x^{k}

beschreiben kann, wobei

z, m \in ℤ

für

n = 1

gilt die Induktionshypothese mit

P (x) = x^{}

-2}=\frac{1}{x^2}

.

Jetzt wollen wir

f^{(n + 1)}

berechnen

Da wir wissen, dass

f^{(n)} = e^{- \frac{1}{x}}

Wir bilden einfach die Ableitung der rechten Seite.

Die Anwendung der Produktregel gibt uns folgendes Resultat

e^{\frac{- 1}{x}} \frac{P_{n} (x)}{x^{2}} + e^{- \frac{1}{x}} P_{n} ʹ (x)

= e^{- \frac{1}{x}} (\frac{P_{n} (x)}{x^{2}} + P_{n} ʹ (x))

Um die Ableitung von

P_{n} (x)

zu berechnen, muss man vorsichtig sein, da

(a x^{0}) ʹ = 0

und nicht so etwas wie

- a x^{- 1}

ist.
*********************************************************
Und

\frac{P_{n} (x)}{x^{2}} + P_{n} ʹ (x) = \sum_{k = z}^{m} a_{k} x^{k - 2} + \sum_{k = z}^{- 1} k a_{k} x^{k - 1} + \sum_{k = 1}^{m} k a_{k} x^{k - 1}

z, m \in ℤ

Da alle drei Komponenten allgemeine Polynome wie oben beschrieben sind, muss die Gesamtsumme auch wieder so ein allgemeines Polynom sein, das wir als

P_{n + 1}

setzen können.
*******************************************************
Dann können wir zeigen, dass

lim_{x ↓ 0} f^{(n)} (x) = 0, \forall n \in N_{0}

mit der Eigenschaft des Limes die wir bereits gezeigt haben.

Wäre nett wenn mir jemand sagen könnte wie ich beweise, dass das was ich in der markierten Stelle behauptet habe auch gilt.

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