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Beweisen mit Intervallschachtelungsprinzip

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert

Wasteoftime1398 aktiv_icon

20:12 Uhr, 28.09.2017

Haĺi Hallo Freunde der Mathewelt,

Wir hatten in der Uni gerade das Intervallschachtelungsprinzip und haben dazu eine Übungsaufgabe bekommen. Man soll mithilfe des ISP folgendes beweisen:

⋂_{n \geq 1} (- \frac{1}{n}, \frac{1}{n}) = {0}

Und genau da liegt auch schon das Problem, in unserer gesamten Lerngruppe hat niemand eine Ahnung, wie wir das tun können.

Angefangen haben wir mal so:

A = {- \frac{1}{n}}, B = {\frac{1}{n}}

Für alle

n \geq 1

Es ist offensichtlich, dass A nach oben und

B

nach unten beschränkt

\to x =

Sup(A),

y =

Inf(B)

Wie geht man nun weiter vor? Kommt man mit diesem Ansatz überhaupt zum Beweis?

Danke schon jetzt!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
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michaL aktiv_icon

21:06 Uhr, 28.09.2017

Hallo,

weitere Infos gibt es z.b. schon mal bei de.wikipedia.org/wiki/Intervallschachtelung

So eine mutmaßliche Intervallschachtelung besteht aus einer Folge

(a_{n})_{n \in N^{*}}

unterer und einer Folge

(b_{n})_{n \in ℕ^{*}}

oberer Grenzen.
In deinem Fall gilt

a_{n} = - \frac{1}{n}

(wenn

0 \notin ℕ

gilt, wovon ich hier ausgehe).
Zudem gilt

b_{n} = \frac{1}{n}

.

Du musst zwei Dinge zeigen, um

[(a_{n}), (b_{n})]_{n \in ℕ^{*}}

eine Intervallschachtelung nennen zu dürfen:
*

a_{n} \leq a_{n + 1} \leq b_{n + 1} < b_{n}

, was bedeutet, dass das folgende Intervall

[a_{n + 1}; b_{n + 1}]

im aktuellen

[a_{n}; b_{n}]

enthalten ist.
*

lim_{n \to \infty} b_{n} - a_{n} = 0

, d.h. dass die Intervallgröße gegen Null geht.

Dann und nur dann gilt

⋂_{n \in ℕ^{*}} [a_{n}; b_{n}] = lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} b_{n} = sup {a_{n} ∣ n \in ℕ^{*}} = inf {b_{n} ∣ n \in ℕ^{*}}

Noch Fragen?

Mfg Michael

Apilex aktiv_icon

21:10 Uhr, 28.09.2017

versuche zu zeigen das es für jede Zahl

a \neq 0

ein

n

gibt so das

a \notin (\frac{- 1}{n}, \frac{1}{n})

liegt

tobit aktiv_icon

22:50 Uhr, 28.09.2017

Hallo Wasteoftime1398,

einige Ergänzungen:

1. Zu deinem Ansatz:

Ich verstehe deine Definitionen von A und B nicht: A kann nicht für verschiedene oder gar jedes

n \geq 1

gleichzeitig die einelementige Menge nur bestehend aus

- \frac{1}{n}

sein, wie von dir angegeben. Oder ist

A = {- \frac{1}{n} ∣ n \in ℕ, n \geq 1}

gemeint?

Wie dem auch sei: Ich sehe leider keinen Weg, deinen Ansatz zum Ziel zu führen.

2. Zur Klärung eures Vorlesungs-Hintergrundes:

Es sind sehr unterschiedliche Formulierungen von Intervallschachtelungsprinzipien im Umlauf, so dass ich nicht sicher bin, dass eure Formulierung zu der auf Wikipedia passt. Kannst du eure ISP-Formulierung posten? Nur dann kann man gezielt auf eure Version eingehen.

Kennt ihr (und verwendet ihr) das Archimedische Axiom? (Je nach Wahl der Axiome der reellen Zahlen muss man unterschiedlich an diese Aufgabe herangehen.)

3. Vorüberlegungen zu deinem Verständnis:

Sind dir alle Notationen auf der linken Seite der zu zeigenden Gleichheit bekannt?
Könntest du z.B. begründet feststellen (ich kürze die linke Seite mit

L := ⋂_{n \geq 1} (- \frac{1}{n}, \frac{1}{n})

ab), ob

0 \in L

- 5 \in L

und

\frac{2}{3} \in L

jeweils gilt oder nicht gilt?

4. Zum eigentlichen Beweis:

Zu zeigen ist die Gleichheit der beiden Mengen

L := ⋂_{n \geq 1} (- \frac{1}{n}, \frac{1}{n})

und

R := {0}

reeller Zahlen.
Das typische Vorgehen, um die Gleichheit

L = R

zweier Mengen zu zeigen: Zeige nacheinander

L \subseteq R

und

L \supseteq R

L \supseteq R

ist hier der einfachere Part. Siehst du mit etwas Überlegen, warum

L \supseteq R

hier gilt? Mache dir dazu zunächst klar, was

L \supseteq R

hier bedeutet.

Der entscheidende Teil ist nun die umgekehrte Beziehung

L \subseteq R

. Darauf beziehen sich die Tipps meiner Vorredner. Näheres kann ich bei Bedarf schreiben, wenn du die Fragen unter 2. beantwortet hast.

Viele Grüße
Tobias

michaL aktiv_icon

21:32 Uhr, 02.10.2017

Hallo,

Wasteoftime - der Name war Programm...

MFG Michael

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